题目内容

（2012?广州一模）如图，木板A静止在光滑水平面上，其左端与固定台阶相距x．与滑块B（可视为质点）相连的细线一端固定在O点．水平拉直细线并给B一个竖直向下的初速度，当B到达最低点时，细线恰好被拉断，B从A右端的上表面水平滑入．A与台阶碰撞无机械能损失，不计空气阻力．
已知A的质量为2m，B的质量为m，A、B之间动摩擦因数为μ；细线长为L、能承受的最大拉力为B重力的5倍；A足够长，B不会从A表面滑出；重力加速度为g．
（1）求B的初速度大小v0和细线被拉断瞬间B的速度大小v1
（2）A与台阶只发生一次碰撞，求x满足的条件
（3）x在满足（2）条件下，讨论A与台阶碰撞前瞬间的速度．
分析：（1）根据机械能守恒定律、结合牛顿第二定律，通过绳子的最大拉力求出B的初速度大小v0和细线被拉断瞬间B的速度大小v1．
（2）若A与台阶只碰撞一次，碰撞后必须满足A的动量大小大于B的动量，结合动能定理求出A与台阶只能碰撞一次的条件．
（3）根据动量守恒定律求出A左端到台阶板前瞬间，A、B恰好达到共同速度木板A移动的位移x0，然后分情况讨论，当x≥x0物块与木板共速后与台阶碰撞，当x0＞x物块与木板共速前与台阶碰撞，根据动量守恒定律结合动能定理求出A与台阶碰撞前瞬间的速度．
解答：解：（1）滑块B从释放到最低点，机械能守恒，有：
1
2
mv02+mgL=
1
2
mv12…①
在最低点，由牛顿运动定律：
T-mg=m
v12
L
…②
又：T=5mg…③
联立①②③得：v0=
2gL
，v1=2
gL
  
（2）设A与台阶碰撞前瞬间，A、B的速度分别为vA和vB，由动量守恒
mv1=mvB+2mvA…④
若A与台阶只碰撞一次，碰撞后必须满足：
.
2mvA 
  
.
＞
.
mvB 
  
.
…⑤
对A应用动能定理：μmgx=
1
2
×2mvA2…⑥
联立④⑤⑥解得：x≥
L
4μ
，…⑦
即A与台阶只能碰撞一次的条件是：x≥
L
4μ
．
（3）设x=x0时，A左端到台阶板前瞬间，A、B恰好达到共同速度vAB，
由动量守恒  mv1=（m+2m）vAB…⑧
对A应用动能定理：μmgx0=
1
2
×2mvAB2…⑨
联立⑧⑨得：x0=
4L
9μ
…⑩
（i）当x≥x0即x≥
4L
9μ
时，AB共速后A与挡板碰撞．
由⑧可得A与台阶碰撞前瞬间的速度：vA1=vAB=
v1
3
=
2
gL
3
…⑩
（ii）当x0＞x≥
L
4μ
即
4L
9μ
＞x≥
L
4μ
时，AB共速前A就与台阶碰撞，
对A应用动能定理：μmgx=
1
2
×2mvA22
A与台阶碰撞前瞬间的速度：vA2=
μgx

答：（1）B的初速度大小v0=
2gL
，细线被拉断瞬间B的速度大小v1=2
gL
．
（2）A与台阶只发生一次碰撞，求x满足的条件x≥
L
4μ
．
（3）x≥
4L
9μ
时，A与台阶碰撞前瞬间的速度
2
gL
3
，
4L
9μ
＞x≥
L
4μ
时，A与台阶碰撞前瞬间的速度
μgx
．
点评：本题综合考查了动能定理、机械能守恒定律、牛顿第二定律、动量守恒定律，综合性强，对学生能力的要求较高，是一道难题．在第三问中可能AB共速后与台阶碰撞，可能共速前与台阶碰撞．
练习册系列答案
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0.70
0.70
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0.20
0.20
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12
12
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