Question

10．在xOy平面内，直线OM与x轴负方向成45°角，以OM为边界的匀强电场和匀强磁场如图所示．在坐标原点O有一不计重力的粒子，其质量和电荷量分别为m和+q，以v₀沿x轴正方向运动，粒子每次到x轴将反弹，第一次无能量损失，以后每次反弹水平分速度不变，竖直分速度大小减半、方向相反．电场强度E和磁感应强度B关系为B=$\frac{m{v}_{0}}{q}$、E=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{16q}$．求带电粒子：
（1）第一次经过OM时的坐标；
（2）第二次到达x轴的动能；
（3）在电场中运动时竖直方向上的总路程．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律求出粒子轨道半径，然后求出坐标位置．
（2）粒子在电场中加速，由动能定理可以求出粒子的动能．
（3）粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律可以求出粒子的总路程．

解答 解：（1）粒子进入磁场，根据左手定则，粒子做$\frac{3}{4}$的圆周运动后经过OM，
根据洛伦兹力提供向心力有：$qvB=m\frac{v^2}{R}$，
代入数据解得：R=1m，
故第一次经过OM时的坐标为（-1m、1m）；
（2）粒子第二次进入磁场，速度不变，则粒子在磁场中运动的半径也为R，
故进入电场时离x轴的高度为2R，根据动能定理，粒子到达x轴的动能有：
$2qER=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}m{v_0}^2$，
解得，动能为：${E_k}=\frac{1}{2}m{v^2}=\frac{5}{8}mv_0^2$；
（3）粒子运轨迹如图所示：

因粒子第二次进入电场做类平抛运动，故到达x轴时的水平分速度为v₀，
竖直方向：$a=\frac{qE}{m}$${v_y}^2=2a{h_1}$ 
解得：${v_y}=\frac{v_0}{2}$，
从类平抛开始，粒子第一次到达最高点离x轴的竖直高度为：${h_1}=\frac{v_y^2}{2a}$
第二次到达最高点离x轴的竖直高度为：${h_2}=\frac{{{{（\frac{v_y}{2}）}^2}}}{2a}=\frac{{{v_y}^2}}{2a}{（\frac{1}{2}）^2}$
…
第n次到达最高点离x轴的竖直高度为：${h_n}=\frac{{{v_y}^2{{（\frac{1}{2}）}^{2n}}}}{2a}=\frac{{{v_y}^2}}{2a}{（\frac{1}{2}）^{2n}}$
故从类平抛开始，在竖直方向上往返的总路程为：$h=\frac{v_y^2}{2a}+2×\frac{v_y^2}{2a}[{（\frac{1}{2}）^2}+{（\frac{1}{2}）^4}…+{（\frac{1}{2}）^{2n}}]=\frac{5v_y^2}{6a}=\frac{{10m{v_0}}}{3qB}=\frac{10}{3}$
故在电场中运动的竖直方向上总路程：$h'=2R+h=\frac{{16m{v_0}}}{3qB}=\frac{16}{3}$m；
答：（1）第一次经过OM时的坐标为（-1m、1m）；
（2）第二次到达x轴的动能为$\frac{5}{8}$mv₀²；
（3）在电场中运动时竖直方向上的总路程为$\frac{16}{3}$m．

点评 本题考查了粒子在磁场与电场中的运动，分析清楚粒子运动过程是正确解题的关键，粒子在磁场中做匀速圆周运动，在电场中做类平抛运动，应用牛顿第二定律与类平抛运动规律即可正确解题．