Question

边长为a的正方形刚性绝缘框架ABCD内有垂直于框架平面的匀强磁场．磁场的磁感应强度为B．一质量为 m，带电量为q的小球，从BC边的中点小孔P处以某一速度V₀垂直于BC边射入磁场，设小球与框架相碰后不损失能量和电量，小球的重力不计．求
（1）为使小球在最短时间内从P点出来，小球的入射速度v₀是多少？
（2）为使小球能从P点出来，小球的入射速度v₀的所有可能值以及与之对应的在框架内运动的总时间t．

Answer 1

分析：（1）根据题意，粒子经AB、AD、DC的中点垂直反弹后能以最短的时间射出框架．然后根据洛伦兹力提供向心力即可求出速度；

解答：解：（1）根据题意，粒子经AB、AD、DC的中点垂直反弹后能以最短的时间射出框架．即粒子的运动半径是：R=

a

2

由洛伦兹力提供向心力：qv0B=m

v02

R

所以v0=

qBR

m

=

qBa

2m

（2）为使小球能从P点出来，粒子必须垂直打在框架上，
所以R=

a

2n

，（其中n=1，2，3…）
由洛伦兹力提供向心力：qv0B=m

v02

R

所以v0=

qBR

m

=

qBa

2nm

，（其中n=1，2，3…）
设粒子圆周运动的周期为T，由洛伦兹力等于向心力得：qvB=m

v2

R

=m

4π2R

T2

解得：T=

2πm

Bq

当n为奇数时，对应的时间为t=(2n-1)T=

(2n-1)2πm

qB

，（其中n=1，3，5，7…）
当n为偶数时，在AB、DC段做直线运动的时间为t1=

2a

v0

=

2a

qBa 2nm

=

4nm

qB

，（其中n=2，4，6，8…）
在BC、AD段的圆周运动的时间为：t2=nT=

2nπm

qB

，（其中n=2，4，6，8…）
故总时间为t=t₁+t₂=

4nm

qB

+

2nπm

qB

=

2nm(π+2)

qB

，（其中n=2，4，6，8…）
答：（1）为使小球在最短时间内从P点出来，小球的入射速度v₀是

qBa

2m

．
（2）为使小球能从P点出来，小球的入射速度v₀的值为

qBa

2nm

，（其中n=1，2，3…）．
当n为奇数时，对应的时间为t=(2n-1)T=

(2n-1)2πm

qB

，（其中n=1，3，5，7…）
当n为偶数时，对应的时间为t=

2nm(π+2)

qB

，（其中n=2，4，6，8…）

点评：根据题意，判断出粒子经AB、AD、DC的中点垂直反弹后能以最短的时间射出框架，根据粒子运动的半径，找出粒子的运动规律，判断出粒子经历的圆周数是关键．