Question

如图所示，圆心在O点、半径为R的圆弧支架竖直放置，支架底边ab离地距离为4R，Oc与Oa夹角为60°，圆弧边缘c处有一小滑轮，圆弧边缘a处切线水平；一轻绳两端系着质量分别为m₁和m₂的小球，挂在定滑轮两边．开始时，m₁和m₂均静止，且都可视为质点，不计一切摩擦，求：
①为使m₁能够沿圆弧下滑到a点，m₁和m₂之间必须满足什么关系（连线足够长，此时m₂没有到达c点）？
②已知m₁=3m₂，若m₁到达圆弧最低点a时（此时m₂没有到达c点），绳子恰好与m₁断开，则m₁落地点离a点的水平距离是多少？

Answer 1

分析：①两物体组成的系统动量守恒，由动量守恒定律可以求出两者的关系；
②由机械能守恒定律求出m₁的速度，绳子断裂后m₁做平抛运动，由平抛运动知识可以求出落地点的距离．

解答：解：①为使m₁能够沿圆弧下滑到a点，则m₁滑到a点时的速度恰好为零．
由m₁和m₂组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律得：
m₁gR（1-cos60°）-m₂gR=0，解得：m₁=2m₂，
m₁≥2m₂时，可使m₁能够沿圆弧下滑到a点．
②由速度分解，v₂=v₁cos30°，
由m₁和m₂组成的系统机械能守恒
m₁gR（1-cos60°）-m₂gR=

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₂²；
解得：v₁=

4gR 15

；                                    
绳子断裂后，m₁做平抛运动：
竖直方向：4R=

1

2

gt²，水平方向：x=v₁t，
解得：x=4

2 15

R；
答：：①为使m₁能够沿圆弧下滑到a点，m₁和m₂之间必须满足什么关系为m₁≥2m₂；
②m₁落地点离a点的水平距离是4

2 15

R．

点评：分析清楚运动过程，应用机械能守恒定律即可正确解题，解题时注意速度的分解．