题目内容

12．如图所示，半径为r、电阻不计的两个半圆形光滑导轨竖直正对放置，间距为L，轨道两端所在平面刚好水平．在导轨M、N间接有阻值为R的小灯泡，整个轨道处在磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中．现有一质量为m，电阻不计的金属棒ab从MN处由静止释放沿导轨运动，金属棒经过最低点时导轨受到金属棒的压力大小为2mg（g为重力加速度），之后金属棒能继续上升$\frac{2}{5}$r高度到达PQ处（未画出）速度才减为零．金属棒始终与导轨垂直，且与导轨接触良好．
（1）求金属棒到达最低点时的速度大小
（2）求金属棒从MN到PQ的过程中小灯泡上产生的热量及流过小灯泡的电荷量．
（3）要使金属棒沿导轨从PQ再回到MN，可对金属棒施加一个力，这个力所做的总功至少为多少？

分析 （1）金属棒经过最低点时导轨受到金属棒的压力大小为2mg，根据牛顿第二定律列式求出金属棒到达最低点时的速度大小；
（2）根据能量守恒定律有，金属棒从MN到PQ过程中减少的重力势能转化为小灯泡上产生的热量，先计算金属棒从MN到PQ的过程中平均感应电动势，感应电流的大小，再推导求出流过小灯泡的电荷量；
（3）要使金属棒沿导轨从PQ再回到MN，施加的外力做的功转化为了小灯泡上产生的热量和金属棒ab的重力势能．

解答 解：（1）设金属棒到达最低点时的速度大小为v
金属棒经过最低点时导轨受到金属棒的压力大小为2mg，由牛顿第三定律可知
此时导轨对金属棒的支持力FN=2mg，方向竖直向上
在最低点由牛顿第二定律有：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：v=$\sqrt{gr}$；
（2）根据能量守恒定律有，金属棒从MN到PQ过程中减少的重力势能转化为小灯泡上产生的热量
则小灯泡上产生的热量Q=mg（r-$\frac{2}{5}r$）=$\frac{3mgr}{5}$
金属棒ab切割磁感线产生的平均感应电动势E=$\frac{B•△S}{△t}$
流过小灯泡的平均感应电流$I=\frac{E}{R}$
则流过小灯泡的电荷量q=I•△t=$\frac{E}{R}•△t=\frac{B•△S}{R•△t}•△t=\frac{B•△S}{R}$
金属棒从MN到PQ的过程中△S=L（r+$\sqrt{{r}^{2}-（r-\frac{2}{5}r）^{2}}$）=$\frac{9}{5}rL$
故q=$\frac{B•S}{R}=\frac{9BrL}{5R}$；
（3）要使金属棒沿导轨从PQ再回到MN，施加的外力做的功转化为了小灯泡上产生的热量和金属棒ab的重力势能
由能量守恒定律有W=Q+mg（r-$\frac{2}{5}r$）=$\frac{6}{5}mgr$
答：（1）金属棒到达最低点时的速度大小为$\sqrt{gr}$；
（2）金属棒从MN到PQ的过程中小灯泡上产生的热量为$\frac{3}{5}mgr$，流过小灯泡的电荷量为$\frac{9BrL}{5R}$．
（3）要使金属棒沿导轨从PQ再回到MN，可对金属棒施加一个力，这个力所做的总功至少为$\frac{6}{5}mgr$．

点评 本题考查电磁感应与电路的综合问题，解题关键是明确各个过程中能量的转化关系，再结合能量守恒定律以及法拉第电磁感应定律进行求解．

练习册系列答案
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2．一同学要研究轻质弹簧的弹性势能与弹簧长度改变量的关系，实验如下：在离地面高度为h的光滑水平桌面上，沿着与桌子边缘垂直的方向放置一轻质弹簧，其左端固定，右端与质量为m的一小钢球接触；桌边悬一重锤，地面垫上白纸．当弹簧处于自然长度时，小钢球恰好在桌子边缘，如图所示．让钢球向左压缩弹簧一段距离x后由静止释放，使钢球沿水平方向射出桌面，小球在空中飞行后落到水平地面，水平距离为S．（重力加速度为g）
（1）为完成实验，还需下列那些器材BD
A．秒表   B．刻度尺   C．打点计时器   D．复写纸
（2）请你推导出弹簧的弹性势能EP与小钢球质量m、桌面离地面高度h，水平距离S等物理量的关系式：$\frac{m{s}^{2}g}{4h}$．
（3）弹簧的压缩量x与对应的钢球在空中飞行的水平距离S的实验数据如下表所示：
弹簧长度压缩量x（cm）1.001.502.002.503.003.50
钢球飞行水平距离S（m）1.011.502.012.483.013.50
从上面的实验数据，请你猜测弹簧的弹性势能EP与弹簧长度的压缩量x之间的关系：EP与x2成正比．
3．一质点沿x轴正方向做直线运动，通过坐标原点时开始计时，其$\frac{x}{t}-t$图象如图所示，则（　　）
A．质点在l s末速度为1.5m/s
B．质点在第l s内的平均速度为1.5m/s
C．质点做匀速直线运动，速度为0.5m/s
D．质点做匀加速直线运动，加速度为0.5m/s2
20．阻值为1Ω的电阻上通以交变电流，其i-t关系如图所示，则在0～1s内电阻上产生的热量为（　　）
A．1 JB．1.5 JC．2 JD．2.8 J
7．如图，闭合金属线圈a悬挂在通电长直导线b的正上方，且和b在同一竖直平面内，当b中的电流强度突然减小时，下列说法正确的是（　　）
A．线圈a中产生顺时针方向的电流，悬线张力变小
B．线圈a中产生顺时针方向的电流，悬线张力增大
C．线圈a中产生逆时针方向的电流，悬线张力变小
D．线圈a中产生逆时针方向的电流，悬线张力增大
17．在地面上插入一对电极M和N，将两个电极与直流电源相连，大地中形成恒定电流和恒定电场．恒定电场的基本性质与静电场相同，其电场线分布如图，P、Q是电场中的两点．下列说法正确的是（　　）
A．P点场强比Q点场强小
B．P点电势比Q点电势高
C．P点电子的电势能比Q点电子的电势能大
D．电子沿直线从N到M的过程中所受电场力恒定不变
4．在“描绘标有‘9V，5W’小灯泡伏安特性曲线”的实验中，实验室提供了下列器材
A．电流表A1（量程100mA，内阻1Ω）   
B．电流表A2（量程0.6A，内阻0.3Ω）
C．电压表V1（量程3.0V，内阻3kΩ）    
D．电压表V2（量程15.0V，内阻10kΩ）
E．滑动变阻器R1（最大阻值为50Ω）    
F．滑动变阻器R2（最大阻值为500Ω）
G．电源E（电动势15V，内阻忽略）      
H．电键、导线若干
（1）为了提高测量准确度和有效性，应选择的器材为（只需填写器材前面的字母即可）电流表B；电压表D；滑动变阻器E．
（2）下列给出的测量电路中，最合理的是B．
1．如图所示的电路中，AB是两金属板构成的平行板电容器，先将电键K闭合，等电路稳定后再将K断开，然后将B板向上平移一小段距离，并且保持两板间的某点P与A板的距离不变，则下列说法正确的是（　　）
A．电容器的电容变小B．电容器内部电场强度大小变大
C．电容器内部电场强度大小变小D．P点电势降低
2．物体从静止开始以2m/s2的加速度做匀加速运动，则前4s 的平均速度的大小是4m/s．

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