Question

13．一小球距水池底3.2m的高处，由静止释放（忽略空气阻力），如果池中无水经0.8s触底，为了防止小球与池底的剧烈撞击，须在池中注入一定深度的水．已知小球触碰池底的安全限速为1m/s，小球在水中受到水的阻力（设不随水深而变）是重力的4.5倍，取g=10m/s²．求：
（1）注水前小球落到池底的速度？
（2）池中注水深度至少为多少？

Answer 1

分析 （1）根据匀变速直线运动的速度位移公式求出注水前小球落到池底的速度大小．
（2）根据牛顿第二定律求出入水后的加速度大小，结合运动学公式，抓住位移关系求出池中水的至少深度．

解答 解：（1）设小球质量为m，不注水的情况下，由运动学公式得
 H=$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2g}$   
解得：v₁=$\sqrt{2gH}$=$\sqrt{2×10×3.2}$m/s=8m/s      
（2）设小球触底速度恰为v=1m/s，注水深度为h，入水时的速度为v₀，由牛顿第二定律和运动学公式得：
4.5mg-mg=ma
解得：a=3.5g，
根据运动学公式有：H-h=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g}$      
h=$\frac{{{v}_{0}}^{2}-{v}^{2}}{2a}$     
代入数据解得：h=0.7m   
答：（1）注水前小球落到池底的速度为8m/s；
（2）池中注水深度至少为0.7m．

点评 本题考查了牛顿第二定律和运动学公式的综合运用，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁，本题也可以结合动能定理进行求解．