Question

如图所示，半径为R的半圆柱形玻璃砖，放置在直角坐标系xOy中，圆心与坐标系原点O重合．在第二象限中坐标为（-1.5R，

3

2

R）的点A处，放置一个激光器（图中未画出），发出的两束细激光束a和b，其中，激光束a平行于x轴射向玻璃砖，激光束b沿AO方向射向玻璃砖．已知激光在玻璃砖中的折射率为

3

．
（1）作出光束a和b通过玻璃砖的光路图，并证明a和b射出玻璃砖后是否相交；
（2）求出激光束a射出玻璃砖后与x轴交点的坐标．

Answer 1

分析：（1）两光束经过两次折射射入空气，画出光路图．根据几何知识得到两光束的入射角，由折射定律求出折射角，结合数学知识判断a和b射出玻璃砖后是否相交；
（2）作出激光束a射出玻璃砖后的光路，根据几何知识求解与x轴交点的坐标．

解答：解：（1）激光束a、b经过玻璃砖的折射光路图如图所示：
如图，tanθ=

3 2 R

1.5R

=

3

3

 得θ=30°
激光束b：
  在O点有：n=

sinθ

sinθ′

 得 θ′=60°
又　sinθ1=

3 2 R

R

=

3

2

  得 θ₁=60°
激光束a，在C点有：n=

sinθ1

sinθ2

 得 θ₂=30°
在E点  n=

sinθ4

sinθ3

=

sinθ4

sin(θ1-θ2)

 得 θ₄=60°
由θ₄=θ′，两束光射出后应平行，故不相交．
（2）在△CDO中，CD=Rcosθ1=

1

2

R
在△CDE中，DE=CDtan(θ1-θ2)=

3

6

R
在△EFO中，OF=OEcotθ4=(

3

2

R-

3

6

R)

3

3

=

1

3

R
所以，光束a射出玻璃砖后与x轴交点的坐标为（

1

3

R，0）
答：（1）作出光束a和b通过玻璃砖的光路图如图，证明见上；
（2）光束a射出玻璃砖后与x轴交点的坐标为（

1

3

R，0）．

点评：本题是几何光学问题，画出光路图，运用折射定律和几何知识结合进行求解，常规方法．