Question

10．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速度v₀抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为θ，已知该星球半径为R，引力常量为G，自转周期为T，求：
（1）该星球表面的重力加速度g和质量M；
（2）该星球的第一宇宙速度v；
（3）该星球的同步卫星距离地面的高度h．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动水平位移和竖直位移的关系，结合运动学公式求出星球表面的重力加速度，根据万有引力等于重力得出星球的质量．
（2）根据重力提供向心力求出该星球的第一宇宙速度．
（3）根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力求出同步卫星距离地面的高度．

解答 解：（1）根据$tanθ=\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$解得星球表面的重力加速度为：
g=$\frac{2{v}_{0}tanθ}{t}$．
星球表面，有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}=\frac{2{v}_{0}{R}^{2}tanθ}{Gt}$．
（2）根据重力提供向心力，有：
$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得第一宇宙速度为：v=$\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2{v}_{0}Rtanθ}{t}}$．
（3）由公式$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
联立以上结果得：h=$\root{3}{\frac{{T}^{2}{v}_{0}{R}^{2}tanθ}{2{π}^{2}t}}-R$．
答：（1）该星球表面的重力加速度g为$\frac{2{v}_{0}tanθ}{t}$，质量M为$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}tanθ}{Gt}$；
（2）该星球的第一宇宙速度v为$\sqrt{\frac{2{v}_{0}Rtanθ}{t}}$；
（3）该星球的同步卫星距离地面的高度h为$\root{3}{\frac{{T}^{2}{v}_{0}{R}^{2}tanθ}{2{π}^{2}t}}-R$．

点评 本题考查了万有引力定律和平抛运动的综合运用，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，以及掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力．