Question

如图所示，有一个漏斗形容器以固定转速绕竖直轴转动．漏斗的壁与水平面成θ角，其内 壁有一个质量为m的很小的物块，它和漏斗之间的摩擦系数为μ（μ＜tgθ），离转动轴的距离为r，要使物块相对于漏斗保持静止，求漏斗的转速的范围？

Answer 1

分析：当转速达到最大时，物块有沿内壁向下的最大静摩擦力，当转速达到最小时，物块有沿内壁向上的最大静摩擦力，根据合力提供向心力，通过正交分解求出漏斗的转速的范围．

解答：解：对小球受力分析，设转速为n．
对上图有：水平方向Nsinθ-fcosθ=m?4π²n²r     ①
竖直方向上有：Ncosθ+fsinθ=mg      ②
f=μN     ③
联立方程有：n=

1

2π

g(sinθ-μcosθ) r(μsinθ+cosθ)

．
对下图有：水平方向上：Nsinθ+fcosθ=m?4π²n²r    ③
竖直方向上有：Ncosθ-fsinθ=mg     ④
f=μF_N     ⑤
联立方程解得n=

1

2π

g(sinθ+μcosθ) r(cosθ-μsinθ)

综合可知，

1

2π

g(sinθ-μcosθ) r(cosθ+μsinθ)

≤n≤

1

2π

g(sinθ+μcosθ) r(cosθ-μsinθ)

．
答：漏斗的转速的范围

1

2π

g(sinθ-μcosθ) r(cosθ+μsinθ)

≤n≤

1

2π

g(sinθ+μcosθ) r(cosθ-μsinθ)

．

点评：解决本题的关键搞清向心力的来源，抓住临界状态，结合牛顿第二定律进行求解．