题目内容
如图所示半径为R、r（R＞r）甲、乙两圆形轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条水平轨道（CD）相连，如小球从离地3R的高处A点由静止释放，可以滑过甲轨道，经过CD段又滑上乙轨道后离开两圆形轨道，小球与CD段间的动摩擦因数为μ，其余各段均光滑．
（1）求小球经过甲圆形轨道的最高点时小球的速度？
（2）为避免出现小球脱离圆形轨道而发生撞轨现象．试设计CD段的长度．
（1）求小球经过甲圆形轨道的最高点时小球的速度？
（2）为避免出现小球脱离圆形轨道而发生撞轨现象．试设计CD段的长度．
（1）设小球能通过甲轨道最高点时速度为v1．
由机械能守恒定律得：mgh=mg.2R+
mv12
解得v1=
故小球经过甲圆形轨道的最高点时的速度为
．
（2）小球在甲轨道上做圆周运动通过最高点的最小速度为 vmin=
∵v1=
＞
∴小球能通过甲轨道而不撞轨
设CD的长度为x，小球在乙轨道最高点的最小速度为v2=
小球要通过乙轨道最高点，根据动能定理得：mg(3R-2r)-μmgx=
mv22 解得：x=
所以x≤
．
小球到乙轨圆心等高处之前再返回，根据动能定理得：mg（3R-r）-μmgx=0 解得：x=
．
小球到乙轨的最低点速度恰好速度为0，根据动能定理得：mg3R-μmgx=0 解得：x=
所以
≤x＜
故CD的长度x≤
或
≤x＜
．
由机械能守恒定律得：mgh=mg.2R+
| 1 |
| 2 |
解得v1=
| 2gR |
故小球经过甲圆形轨道的最高点时的速度为
| 2gR |
（2）小球在甲轨道上做圆周运动通过最高点的最小速度为 vmin=
| gR |
∵v1=
| 2gR |
| gR |
设CD的长度为x，小球在乙轨道最高点的最小速度为v2=
| gr |
小球要通过乙轨道最高点，根据动能定理得：mg(3R-2r)-μmgx=
| 1 |
| 2 |
| 6R-5r |
| 2μ |
所以x≤
| 6R-5r |
| 2μ |
小球到乙轨圆心等高处之前再返回，根据动能定理得：mg（3R-r）-μmgx=0 解得：x=
| 3R-r |
| μ |
小球到乙轨的最低点速度恰好速度为0，根据动能定理得：mg3R-μmgx=0 解得：x=
| 3R |
| μ |
所以
| 3R-r |
| μ |
| 3R |
| μ |
故CD的长度x≤
| 6R-5r |
| 2μ |
| 3R-r |
| μ |
| 3R |
| μ |
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