Question

16．如图，质量均为m的两个小球A、B固定在弯成120°角的绝缘轻杆两端，OA和OB的长度均为l，可绕过O点且与纸面垂直的水平轴无摩擦转动，空气阻力不计．设A球带正电，B球带负电，电量均为q，处在竖直向下的匀强电场中，场强E=$\frac{mg}{3q}$．开始时，杆OB与竖直方向的夹角θ=60°．
（1）为使系统平衡，在A点施一作用力F，则F至少多大？方向如何？
（2）设O点电势为零，此系统在图示位置处电势能是多少？
（3）若撤去外力F，系统转过多大角度时，A球的速度最大？最大值是多少？
（4）若撤去外力F，系统转过多大角度时，系统电势能最小？最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）以O为转轴，根据共点力平衡即可判断外力大小和方向；
（2）由于AB两球在同一等势面上，根据E=qφ求得电势能；
（3）A、B两球速度相等，A球的速度最大，即系统速度最大，根据动能定理求得；
（4）当A与竖直方向成α角时，系统速度为零，不再上升，根据动能定理求得

解答 解：（1）以O为转轴  M_GA+M_EA+M_EB-M_GB-M_F=0
则  2qElsin60°=Fl①
$E=\frac{mg}{3q}$②
①、②解之  $F=\frac{{\sqrt{3}}}{3}mg$
 方向垂直OA杆斜向上 
（2）O点电势为零，由于AB两球在同一等势面上，根据E=qφ求得ε_A=-ε_B
ε_总=0           
（3）A、B两球速度相等，A球的速度最大，即系统速度最大，此时∑M=0，即M_A=M_B
设此时OA杆与水平线夹角为β，则$（qE+mg）lcosβ=（mg-qE）lcos（β-\frac{π}{3}）$
$tanβ=\sqrt{3}$
β=60°
即A转过的角度为  60°-30°=30°     
$（qE+mg）l（cos30°-cos60°）-（mg-qE）lcos60°=\frac{1}{2}mυ_A^2×2$
${υ_A}=\sqrt{（\frac{{2\sqrt{3}-3}}{3}）gl}$
（4）当A与竖直方向成α角时，系统速度为零，不再上升$\frac{4}{3}mgl（cosα-cos60°）=\frac{2}{3}mgl[{sin30°+sin（30°-α）}]$
α=0°
A在最低点，B与水平成30°角位置ε_A＜0，ε_B＜0，系统电势能最小${ε_A}=-qEl=-\frac{1}{3}mgl$${ε_B}=-qElsin30°=-\frac{1}{6}mgl$
${ε_{min}}={ε_A}+{ε_B}=-\frac{1}{2}mgl$
答：（1）为使系统平衡，在A点施一作用力F，则F至少为$\frac{\sqrt{3}mg}{3}$，方向垂直OA杆斜向上
（2）设O点电势为零，此系统在图示位置处电势能是0
（3）若撤去外力F，系统转过30°角度时，A球的速度最大，最大值是$\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}-3}{3}）gl}$
（4）若撤去外力F，系统转过0°角度时，系统电势能最小，最小值是$-\frac{1}{2}mgl$

点评 本题考查了力矩平衡与动能定理的综合，通过力矩平衡求解出电场强度的大小．知道电场力做功与重力做功的特点，运用动能定理解题