Question

3．如图所示，轻弹簧的两端与质量均为3m的B、C两物块固定连接，静止在光滑水平面上，物块C紧靠挡板不粘连，另一质量为m的小物块A以速度v₀从右向左与B发生弹性正碰，碰撞时间极短可忽略不计，（所有过程都是在弹簧弹性限度范围内）求：
（1）A、B碰后瞬间各自的速度；
（2）弹簧第一次压缩最短与第一次伸长最长时弹性势能之比．

Answer 1

分析 （1）A、B发生弹性碰撞，碰撞过程动量守恒、机械能守恒，由动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出碰后两物体的速度．
（2）在B压缩弹簧过程中，系统机械能守恒，由机械能守恒定律可以求出弹簧的弹性势能；当弹簧第一次伸长最长时，B、C两物体组成的系统动量守恒、机械能守恒，由动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出弹簧的弹性势能，然后求出弹簧的弹性势能之比．

解答 解：（1）A、B发生弹性正碰，碰撞过程中，A、B组成的系统动量守恒、机械能守恒，以A、B组成的系统为研究对象，以A的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：mv₀=mv_A+3mv_B
在碰撞过程中机械能守恒，由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_A^2+\frac{1}{2}3mv_B^2$
联立解得：${v_A}=-\frac{v_0}{2}，{v_B}=\frac{v_0}{2}$
（2）弹簧第一次压缩到最短时，B的速度为零，该过程机械能守恒，由机械能守恒定律得，弹簧的弹性势能：${E_P}=\frac{1}{2}×3mv_B^2=\frac{3}{8}mv_0^2$
从弹簧压缩最短到弹簧恢复原长时，B、C与弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧恢复原长时，B的速度 ${v_B}=\frac{v_0}{2}$，速度方向向右，C的速度为零，
从弹簧恢复原长到弹簧第一次伸长最长时，B、C与弹簧组成的系统动量守恒、机械能守恒，弹簧伸长最长时，B、C速度相等，以向右为正方向，由动量守恒定律得：3mv_B=（3m+3m）v₂
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}×3mv_B^2=\frac{1}{2}×6mv_2^2+{E'_P}$
解得：${E'_P}=\frac{3}{16}mv_0^2$
弹簧第一次压缩最短与第一次伸长最长时弹性势能之比：E_P：E'_P=2：1
答：（1）A、B碰后瞬间，A的速度为$\frac{{v}_{0}}{2}$，方向向右，B的速度为$\frac{{v}_{0}}{2}$v₀，方向向左；
（2）弹簧第一次压缩最短与第一次伸长最长时弹性势能之比为2：1．

点评 本题要分析清楚物体运动过程，知道弹性碰撞遵守两大守恒定律：动量守恒定律与机械能守恒定律，还要把握能量是如何转化的．