Question

如图所示，阻值为R的电阻串于光滑的固定在水平面上等边三角形水平导轨OPQ上，导轨在O点断开．磁感应强度为B、方向竖直向下、宽度为d的条形磁场区域与PQ平行，质量为m的导体棒中点接在劲度系数为k的弹簧的一端，弹簧的另一端固定．导体棒始终与PQ平行，且与导轨保持良好接触，弹簧无伸长时，导体棒停于M处，现将导体棒拉至N处后自由释放，若M至顶点O，以及M、N到磁场边沿的距离均为d，导轨和导体棒的阻值忽略不计，求：（提示：弹簧的弹性势能公式为E_P=

kx2

2

，x为弹簧的形变量）
（1）计算导体棒释放后，第一次穿越条形磁场区域过程中，电阻R中通过的电荷量q．
（2）测得导体棒从N处释放后第一次向左通过磁场右边界b时速度为v．求第一次向右运动穿越磁场区域中电阻R产生的焦耳热Q．
（3）经过一定时间后，棒会处于怎样的运动状态，请简要地分析说明．

Answer 1

分析：（1）第一次穿越条形磁场区域过程中，电阻R中通过的电荷量q=

△Φ

R

=

B△S

R

，由几何知识求出回路面积的变化量△S，即可求出电量q．
（2）在N到a过程中，只有弹簧的弹力做功，机械能守恒，则可由机械能守恒求出导体棒到达磁场左边界时的动能．导体棒穿过磁场右边界后只受到弹簧弹力作用，机械能守恒，导体棒向右和向左经过磁场右边界时，速度大小不变，仍为v₀．导体棒从磁场左边界到右边界的过程中，弹簧的弹性势能减小转化为导体棒的动能和回路中的内能，根据能量守恒定律求解第一次向右运动穿越磁场区域中电阻R产生的焦耳热Q．
（3）导体棒每次穿过磁场区时，都有安培力做功产生电热，振幅不断减小，最后导体棒不能进入磁场而做简谐运动．

解答：解：（1）根据等边三角形的边长关系，易求得△s=

5 3

3

d2
根据电量公式求得：q=∑i△t=∑ 

△φ

△tR

△t=

B△S

R

=

5 3

3R

Bd2
（2）设导体棒到达磁场左边界时速度大小为v₁，在N到a过程中，弹簧做功有
 

1 2 k(3d)2- 1 2 k(2d)2= 1 2 m v 2 1 1 2 m v 2 1 = 5 2 kd2

得
由于导体棒穿过磁场右边界后，只受到弹簧弹力作用，系统的机械能守恒，故导体棒向左运动穿过和返回磁场右边界时，速度大小不变，仍为v₀，根据能量守恒关系可知   

1

2

m

v

2 1

+

1

2

k

d

2 1

=

1

2

m

v

2 0

+

1

2

k

d

2 2

+Q，Q为焦耳热．
故解得，Q=4k

d

2

-

1

2

m

v

2 0

（3）由于每次穿过磁场区时，都有安培力做功产生电热，可知棒的振幅逐渐变小，最后棒不再返回磁场区，在只受到弹簧弹力的作用下做简谐运动．
答：
（1）第一次穿越条形磁场区域过程中，电阻R中通过的电荷量q为

5 3

3R

Bd2．
（2）第一次向右运动穿越磁场区域中电阻R产生的焦耳热Q为4kd2-

1

2

m

v

2 0

．
（3）棒不再返回磁场区，在只受到弹簧弹力的作用下做简谐运动．

点评：本题中感应电量的公式q=

△Φ

R

=

B△S

R

，利用求和的方法推导，要学会应用．第2问是能量守恒的应用，分析能量如何转化是关键．