Question

半径为R的光滑半圆环形轨道固定在竖直平面内，从与半圆环相吻合的光滑斜轨上高h=3R处，先后释放A、B两小球，A球的质量为2m，B球的质量为m，当A球运动到圆环最高点时，B球恰好运动到圆环最低点，如图所示．求：
（1）此时A、B球的速度大小v_A、v_B；
（2）这时A、B两球对圆环作用力的合力大小和方向．

Answer 1

分析：（1）A、B球下滑的过程中，都只有重力做功，根据机械能守恒定律求出速度大小v_A和v_B；
（2）分别以两球为研究对象，根据牛顿第二定律求出轨道对两球的作用力，再根据牛顿第三定律求解A、B两球对圆环作用力的合力大小和方向．

解答：解：（1）对A分析：从斜轨最高点到半圆环形轨道最高点，由机械能守恒得：
2mg（3R-2R）=

1

2

?2m

v

2 A

解得：v_A=

2gR

．
对B分析：从斜轨最高点到半圆环形轨道最低点，由机械能守恒有：
3mgR=

1

2

m

v

2 B

解得：v_B=

6gR

．
（2）设半圆环形轨道对A、B的作用力分别为F_NA、F_NB，F_NA方向竖直向下，F_NB方向竖直向上．
根据牛顿第二定律得：
F_NA+2mg=2m

v 2 A

R

，F_NB-mg=m

v 2 B

R

解得：F_NA=2mg，F_NB=7mg．
根据牛顿第三定律，A、B两球对圆环的力分别为：F_NA′=2mg，方向竖直向上；F_NB′=7mg，方向竖直向下，所以A、B两球对圆环作用力的合力大小F=5mg，方向竖直向下．
答：
（1）此时A、B球的速度大小分别为

2gR

和

6gR

．
（2）这时A、B两球对圆环作用力的合力大小5mg，方向竖直向下．

点评：本题是向心力和机械能守恒定律的综合应用，常规题，速度是它们之间联系的纽带．