题目内容

如图7-7-12所示，半径为R、圆心为O的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上.一根轻质长绳穿过两个小圆环，它的两端都系上质量为m的重物，忽略小圆环的大小.

图7-7-12

（1）将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧θ=30°的位置上（如图）.在两个小圆环间绳子的中点C处，挂上一个质量M=2m的重物，使两个小圆环间的绳子水平，然后无初速释放重物M.设绳子与大、小圆环间的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距离.

（2）若不挂重物M，小圆环可以在大圆环上自由移动，且绳子与大、小圆环间及大、小圆环之间的摩擦均可以忽略，问两个小圆环分别在哪些位置时，系统可处于平衡状态？

解析：（1）重物向下先做加速运动，后做减速运动，当重物速度为零时，下降的距离最大.设下降的最大距离为h，由机械能守恒定律得

解得

（另解h=0舍去）.

（2）系统处于平衡状态时，两小环的可能位置为

①两小环同时位于大圆环的底端.

②两小环同时位于大圆环的顶端.

③两小环一个位于大圆环的顶端，另一个位于大圆环的底端.

④除上述三种情况外，根据对称性可知，系统如能平衡，则两小圆环的位置一定关于大圆环竖直对称轴对称.设平衡时，两小圆环在大圆环竖直对称轴两侧α角的位置上（如图所示）.

对于重物m，受绳子拉力T与重力mg作用，有T=mg

对于小圆环，受到三个力的作用：水平绳子的拉力T、竖直绳子的拉力T、大圆环的支持力N.两绳子的拉力沿大圆环切向的分力大小相等，方向相反

得，而，所以.


练习册系列答案
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如图7-7-12所示，质量为m的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边光滑的定滑轮与质量为2m的砝码相连，让绳拉直后使砝码从静止开始下降h的距离时，砝码未落地，木块仍在桌面上.求：

图7-7-12

(1)这时砝码的速率为多大？

(2)上述过程中砝码克服绳子拉力做的功为多少？
如图7-7-12所示，一口圆柱形井，底面积为S，深为H，井中一半有水.用抽水机将水抽起，使水通过半径为R的圆管流到地面，如要在时间t内将水抽完，问抽水机至少要做多少功？(设水的密度为ρ0)

图7-7-12

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图7-7-12

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