Question

8．已知一只静止在赤道地面上的热气球绕地心运动的角速度为ω₀，在距地面h高处圆形轨道上有一颗人造地球卫星．设地球质量为M，半径为R，热气球的质量为m，人造地球卫星的质量为m₁．根据上述条件，有一位同学列出了以下两个式子：
对热气球有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mω₀²R
对人造地球卫星有：G$\frac{M{m}_{1}}{（R+h）^{2}}$=m₁ω²（R+h）
进而求出了人造地球卫星绕地球运行的角速度ω．
你认为这个同学的解法是否正确？若认为正确，请求出结果；若认为不正确，请补充一个条件后，再求出ω．

Answer 1

分析 那个气球的整个条件都是没用的，用来混淆视线的，这里卫星的角速度无法通过气球来求．只是这个题是找错题，他对气球的解答是错的，他错在对气球的受力分析上，气球受的万有引力不全是提供向心力，而是一部分与浮力平衡，而在求卫星角速度上，他不起什么作用．
要求出人造地球卫星绕地球运行的角速度ω，我们应补充一个条件后列出等式表示出GM．

解答 解：第一个等式（对热气球）解法不正确，因为热气球不同于人造卫星，热气球静止在空中是因为浮力与重力平衡．它受地球的引力并不等于它绕地心所需的向心力．
若已知第一宇宙速度v₁，有$\frac{G{Mm}_{1}}{{R}^{2}}$=$\frac{{{m}_{1}^{\;}v}_{1}^{2}}{R}$
对人造地球卫星有：G$\frac{M{m}_{1}}{（R+h）^{2}}$=m₁ω²（R+h）
联立可得ω=v₁$\sqrt{\frac{R}{{（R+h）}^{3}}}$
答：这个同学的解法不正确，若已知第一宇宙速度v₁，ω=v₁$\sqrt{\frac{R}{{（R+h）}^{3}}}$．

点评 本题考查了万有引力在天体中的应用，解题的关键在于找出向心力的来源，并能列出等式解题．
要注意热气球受地球的引力并不等于它绕地心所需的向心力．