Question

10．如图所示，电阻不计的两光滑金属导轨相距L，放在水平绝缘桌面上，半径为R的$\frac{1}{4}$圆弧部分处在竖直平面内，水平直导轨部分处在磁感应强度为B，方向竖直向下的匀强磁场中，末端与桌面边缘平齐．两金属棒ab、cd垂直于两导轨且与导轨接触良好．棒ab质量为2m，电阻为r，棒cd的质量为m，电阻为r．重力加速度为g．开始时棒cd静止在水平直导轨上，棒ab从圆弧顶端无初速度释放，进入水平直导轨后与棒cd始终没有接触并一直向右运动，最后两棒都离开导轨落到地面上．棒ab与棒cd落地点到桌面边缘的水平距离之比为1：3．求：

（1）棒ab和棒cd离开导轨时的速度大小；
（2）棒cd在水平导轨上的最大加速度；
（3）两棒在导轨上运动过程中产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）棒ab和棒cd离开导轨做平抛运动，根据平抛运动的规律和水平位移之比求解．
（2）ab棒刚进入水平导轨时，cd棒受到的安培力最大，此时它的加速度最大．根据ab棒从圆弧导轨滑下机械能定恒求解进入磁场之前的速度大小，由E=BLv、I=$\frac{E}{2r}$、F=BIL结合求出安培力，即可由牛顿第二定律求解最大加速度．
（3）ab棒与cd棒在水平导轨上运动，根据根据动量定恒和能量定恒求解两棒在轨道上运动过程产生的焦耳热．

解答 解：（1）ab棒刚进入水平导轨时，cd棒受到的安培力最大，此时它的加速度最大．
设ab棒进入水平导轨的速度为v₁，ab棒从圆弧导轨滑下机械能定恒：
 2mgR=$\frac{1}{2}$×2mv₁²
解得：v₁=$\sqrt{2gR}$ 
离开导轨时，设ab棒的速度为v₁′，cd棒的速度为v₂′，ab棒与cd棒在水平导轨上运动，棒ab和棒cd离开导轨时，设ab棒的速度为v₁′，cd棒的速度为v₂′．
由h=$\frac{1}{2}$gt²知两棒离开导轨做平抛运动的时间相等，由平抛运动水平位移x=vt可知 v₁′：v₂′=x₁：x₂=1：3
即 v₁′=3v₂′
根据动量守恒得：
 2mv₁=2mv₁′+mv₂′
联立解得 v₁′=$\frac{2}{7}$$\sqrt{2gR}$，v₂′=$\frac{6}{7}\sqrt{2gR}$
（2）ab棒刚进入水平导轨时，设此时回路的感应电动势为E，
 E=BLv 
感应电流 I=$\frac{E}{2r}$ 
cd棒受到的安培力为：F_cd=BIL
根据牛顿第二定律，cd棒有最大加速度为
 a=$\frac{{F}_{cd}}{m}$ 
联立解得：a=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gR}}{2mr}$ 
（3）离开导轨时，设ab棒的速度为v₁′，cd棒的速度为v₂′，ab棒与cd棒在水平导轨上运动，棒ab和棒cd离开离开导轨时，设ab棒的速度为v₁′，cd棒的速度为v₂′．
由h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$知两棒离开导轨做平抛运动的时间相等，由平抛运动水平位移x=vt可知 v₁′：v₂′=x₁：x₂=1：3
即 v₁′=3v₂′
根据动量定恒得：
   2mv₁=2mv₁′+mv₂′
根据能量定恒，两棒在轨道上运动过程产生的焦耳热为
  Q=$\frac{1}{2}×2m{v}_{1}^{2}$-（$\frac{1}{2}×2m{v}_{1}^{′2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{′2}$）
解得，Q=$\frac{6}{25}$mgR
答：
（1）棒ab和棒cd离开导轨时的速度大小分别是$\frac{2}{7}$$\sqrt{2gR}$和$\frac{6}{7}\sqrt{2gR}$；
（2）棒cd在水平导轨上的最大加速度是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gR}}{2mr}$；
（3）两棒在导轨上运动过程中产生的焦耳热是$\frac{6}{25}$mgR．

点评 本题是电磁感应与电路、磁场、力学等知识的综合应用，根据牛顿第二定律求加速度，以及结合运动学能够分析出金属棒的运动情况．考查分析和处理综合题的能力．