Question

我国“嫦娥一号”月球探测器在绕月球成功运行之后，为进一步探测月球的详细情况，又发射了一颗绕月球表面飞行的科学试验卫星．假设卫星绕月球作圆周运动，月球绕地球也作圆周运动，且轨道都在同一平面内．己知卫星绕月球运动周期T₀，地球表面处的重力加速度g，地球半径R₀，月心与地心间的距离为r_om，引力常量G，试求：
（1）月球的平均密度ρ
（2）月球绕地球运转的周期T．

Answer 1

分析：1、抓住绕月表面飞行的卫星受到的万有引力提供圆周运动向心力

Gmm′

R 2 m

=m′

4π2

T 2 0

Rm可计算月球的质量，再根据密度的定义式可计算月球的密度．
2、抓住地球表面重力与万有引力相等

GMm表

R 2 0

=m表g和月球受到地球的万有引力提供圆周运动向心力

GMm

r 2 om

=m

4π2

T2

rom可计算月球绕地球运动的周期．

解答：解：（1）设卫星质量为m，对于绕月球表面飞行的卫星，由万有引力提供向心力

Gmm′

R 2 m

=m′

4π2

T 2 0

Rm
得   m=

4π2 R 3 m

G T 2 0

又据   ρ=

m

4 3 π R 3 m

得   ρ=

3π

G T 2 0

（2）月球的球心绕地球的球心运动的周期为T．
地球的质量为M，对于在地球表面的物体m_表
有    

GMm表

R 2 0

=m表g
即    GM=

R

2 0

g
月球绕地球做圆周运动的向心力来自地球引力
即    

GMm

r 2 om

=m

4π2

T2

rom
得T=

2πr0m

R0

?

rom g

答：（1）月球的平均密度ρ为

3π

G T 2 0

．
（2）月球绕地球运转的周期T为

2πr0m

R0

?

rom g

．

点评：本题主要掌握天体运动的两个问题：1、万有引力提供向心力，2、星球表面的物体受到的重力等于万有引力．掌握好这两个关系可以解决所以天体问题．