Question

6．如图所示，位于竖直平面内的坐标系xOy，在其第三象限空间有正交的匀强磁场和匀强电场，匀强磁场沿水平方向且垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B，匀强电场沿x输负方向、场强大小为E．在其第一象限空间有沿y轴负方向的、场强大小为$E'=\frac{4}{3}E$的匀强电场．个电荷量的绝对值为q的油滴从图中第三象限的P点得到一初速度，恰好能沿PO做直线运动（PO与x轴负方向的夹角为θ=37°），并从原点O进人第一象限．已知重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力．
（1）判断油滴的电性；
（2）求油滴在P点得到的初速度大小．
（3）在第一象限的某个长方形区域再加上一个垂直于纸面向里的、磁感应强度大小也为B的匀强磁场，且该长方形区域的下边界在x轴上，上述油滴进入第一象限后恰好垂直穿过x轴离开第一象限，求这个长方形区域的最小面积以及油滴在第一象限内运动的时间．

Answer 1

分析 （1）油滴在第3象限做匀速直线运动，根据重力、电场力、洛伦兹力三力方向，油滴受力平衡可判定油滴带负电；
（2）根据受力分析，结合平衡条件，依据力的平行四边形定则，从而解得速度；
（3）根据油滴先作匀速直线运动，后做匀速圆周运动，依据运动学公式与几何知识画出运动轨迹，从而求出个长方形区域的最小面积，再分段求解时间．

解答 解：（1）如果油滴带正电荷，受力分析如图一所示．因为要保证垂直速度方向合力为零，油滴一定做减速运动，这时洛仑兹力在变化，导致垂直速度方向的力发生变化，油滴不可能做直线运动，即油滴不仅垂直速度方向合力为零，沿速度方向合力也为零；如果油滴带负电荷，如图二，则能满足以上分析，所以油滴一定带负电．
（2）油滴受三个力作用（见图二），从P到O沿直线必为匀速运动，设油滴质量为m：
根据平衡条件有：qvBsin37°=qE
mgtan37°=qE
综合前两式，得：
$v=\frac{5E}{3B}$…①
$m=\frac{4qE}{3g}$…②
（3）进入第一象限，由电场力$qE′=\frac{4}{3}qE$和重力$mg=\frac{4}{3}qE$相等，知油滴先作匀速直线运动，进入磁场区域后作匀速圆周运动，路径如三图，最后从x轴上的N点离开第一象限，图中红色长方形区域为匀强磁场最小面积；设油滴在第一象限内运动的时间包括直线运动的时间t₁和圆周运动的时间t₂．
带电油滴在磁场中运动满足：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$…③
有①②③解得：$R=\frac{20{E}^{2}}{9g{B}^{2}}$
匀强磁场最小面积：s=R×（R+Rsinθ）=1.6R²=$\frac{640{E}^{4}}{81{g}^{2}{B}^{4}}$
油滴在第一象限内运动的时间包括直线运动的时间t₁=$\frac{R}{vtanθ}$=$\frac{16E}{9gB}$
油滴在第一象限内做圆周运动的时间t₂=$\frac{90°+37°}{360°}T$=$\frac{127}{360}×\frac{2πR}{v}$=$\frac{127πE}{135gB}$
油滴在第一象限内运动的总时间：t=t₁+t₂=$\frac{（240+127π）E}{135gB}$
答：（1）油滴带负电；
（2）油滴在P点得到的初速度大小$v=\frac{5E}{3B}$．
（3）这个长方形区域的最小面积为$\frac{640{E}^{4}}{81{g}^{2}{B}^{4}}$，油滴在第一象限内运动的时间为$\frac{（240+127π）E}{135gB}$．

点评 本题关键是先确定物体的运动情况，并画出运动轨迹，然后逐段逐段分析；匀速运动阶段受力平衡，匀速圆周运动阶段洛伦兹力提供向心力．