Question

9．若嫦娥三号卫星在离月球表面为h的空中沿圆形轨道绕月球飞行，周期为T．若月球半径r，引力常量为G．试推导：
（1）月球的质量的表达式；
（2）月球表面的重力加速度的表达式．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力，结合轨道半径和周期求出月球的质量．
（2）根据万有引力等于重力求出月球表面的重力加速度．

解答 解：（1）嫦娥三号围绕月球做圆周运动时，有：$\frac{GMm}{（r+h）^{2}}=m（r+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$…①
解得：$M=\frac{{4{π^2}{{（r+h）}^3}}}{{G{T^2}}}$…②
（2）根据万有引力等于重力得：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=mg$…③
解得：$g=\frac{{4{π^2}{{（r+h）}^3}}}{{{T^2}{r^2}}}$…④
答：（1）月球的质量表达式为得$M=\frac{{4{π^2}{{（r+h）}^3}}}{{G{T^2}}}$；
（2）月球表面的重力加速度为$g=\frac{{4{π^2}{{（r+h）}^3}}}{{{T^2}{r^2}}}$；

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论，1万有引力提供向心力，2、万有引力等于重力，并能灵活运用．