Question

16．如图所示，两根长度均为l的刚性轻杆，一端通过一质量为m的球形铰链互相连接，另一端分别接质量为m和2m的小球．将此装置两杆并拢，铰链向上、竖直地放在桌上．轻敲一下，使球往两边滑，但两杆始终保持在竖直面内．已知摩擦可忽略．求：
（1）铰链碰桌前的速度．
（2）当两秆夹角为 90°时，质量为2m的小球的速度和位移．

Answer 1

分析 （1）水平方向动量守恒，铰链球与桌面相碰时，三球的水平速度同为零，只是铰链球有竖直向下速度u联合地面，根据机械能守恒即可求解；
（2）根据系统动量守恒和机械能守恒列式，同时找出三球的关联速度；

解答 解：（1）水平方向动量守恒，铰链球与桌面相碰时，三球的水平速度同为零，只是铰链球有竖直向下速度u联合地面，根据机械能守恒可得：
$\frac{1}{2}m{u}_{\;}^{2}=mgl$，$u=\sqrt{2gl}$
（2）如图所示，

由水平方向动量守恒可得
${v}_{1}^{\;}+{u}_{1}^{\;}=2{v}_{2}^{\;}$①
由机械能守恒可得
$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}m（{u}_{1}^{2}+{u}_{2}^{2}）+\frac{1}{2}（2m）{v}_{2}^{2}=mgl（1-\frac{1}{\sqrt{2}}）$
即${v}_{1}^{2}+（{u}_{1}^{2}+{u}_{2}^{2}）+2{v}_{2}^{2}=（2-\sqrt{2}）gl$②
又由运动关联
${v}_{1}^{\;}cos45°=（{u}_{1}^{\;}+{u}_{2}^{\;}）cos45°$
${v}_{2}^{\;}cos45°=（{u}_{2}^{\;}-{u}_{1}^{\;}）cos45°$
得${v}_{1}^{\;}={u}_{1}^{\;}+{u}_{2}^{\;}$，${v}_{2}^{\;}={u}_{2}^{\;}-{u}_{1}^{\;}$③
联立①②③式可解得质量为2m的小球速度为
${v}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{3}{10}（1-\frac{1}{\sqrt{2}}）gl}$
由几何关系可得质量为2m的小球的位移为l，方向水平向右
答：（1）铰链碰桌前的速度$\sqrt{2gl}$．
（2）当两秆夹角为 90°时，质量为2m的小球的速度$\sqrt{\frac{3}{10}（1-\frac{1}{\sqrt{2}}）gl}$和位移l．

点评 本题考查了动量守恒定律和机械能守恒定律，关键是明确守恒的条件和对象，同时注意个小球速度之间的关联，有一定的难度．