Question

20．如图所示，水平放置的弹簧左端固定，小物块P（可视为质点）置于水平桌面上的A点，并与弹簧右端接触，此时弹簧处于原长．现用水平向左的推力将P缓慢地推至B点，此时弹簧的弹性势能为E_P=21J．撤去推力后，P沿桌面滑上一个停在光滑水平地面上的长木板Q上，已知P、Q的质量分别为m=2kg、M=4kg，A、B间的距离L_l=4m，A距桌子边缘C的距离L₂=2m，P与桌面及P与Q间的动摩擦因数都为μ=0.1，g取10m/s²，求：
（1）要使P在长木板Q上不滑出去，长木板至少多长？
（2）若长木板的长度为2.25m，则P滑离木板时，P和Q的速度各为多大？

Answer 1

分析 （1）根据功能关系求出物体到达C点时的速度大小，当物体滑上木板时，木板加速运动，物体减速运动，当二者速度相同时，一起向前运动，根据过程中系统水平方向动量守恒和能量守恒可解出木板长度．
（2）根据木板和物体作用过程中动量守恒和功能关系可求出结果．

解答 解：（1）小物块从B点运动到C点的过程中，根据能量守恒定律得：
E_p-$\frac{1}{2}m{v_C}^2=μmg（{L_1}+{L_2}）$，
解得：${v_c}=\sqrt{\frac{{2[{{E_P}-μmg（{L_1}+{L_2}）}]}}{m}}=3m/s$，
若小物块滑到木板右端时与长木板具有共同速度，所对应的长木板具有最小的长度Lm，系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：
mv_c=（m+M）v，
由能量守恒定律得：$μmg{L_m}=\frac{1}{2}m{v_c}^2-\frac{1}{2}（m+M）{v^2}$，
解得：v=1m/s，L_m=3m；
（2）设小物块滑离木板时，它们的速度分别为v₁和v₂，以向右为正方向，由动量守恒定律得：
mv_c=mv₁+Mv₂，
由能量守恒定律得：$μmgL=\frac{1}{2}m{v_c}^2-\frac{1}{2}m{v_1}^2-\frac{1}{2}M{v_2}^2$，
解得：v₁=2m/s，v₂=0.5m/s（${v_1}^'=0（舍去）$ ${v_2}^'=1.5m/s$ 不合题意，舍去）
因此小物块滑离木板时，它们的速度分别为：v₁=2m/s，v₂=0.5m/s；
答：（1）要使P在长木板Q上不滑出去，长木板长度至少为3m；
（2）若长木板的长度为2.25m，则P滑离木板时，P和Q的速度分别为：2m/s、0.5m/s．

点评 本题考查了动量守恒定律的应用，分析清楚物体运动过程是正确解题的关键，从能量和动量守恒的观点解答问题是高中阶段必须掌握的思想方法之一，要在平时训练中加强练习，不断提高解题能力．