Question

（2013?商丘三模）如图所示，一个n=10匝，面积为S=0.3m²的圆形金属线圈，其总电阻为R₁=2Ω，与R₂=4Ω的电阻连接成闭合电路．线圈内存在方向垂直于纸面向里，磁感应强度按B₁=2t+3 （T）规律变化的磁场．电阻R₂两端通过金属导线分别与电容器C的两极相连．电容器C紧靠着带小孔a（只能容一个粒子通过）的固定绝缘弹性圆筒．圆筒内壁光滑，筒内有垂直水平面竖直向下的匀强磁场B₂，O是圆筒的圆心，圆筒的内半径为r=0.4m．
（1）金属线圈的感应电动势E和电容器C两板间的电压U；
（2）在电容器C内紧靠极板且正对a孔的D处有一个带正电的粒子从静止开始经电容器C加速后从a孔垂直磁场B₂并正对着圆心O进入筒中，该带电粒子与圆筒壁碰撞四次后恰好又从小孔a射出圆筒．已知粒子的比荷q/m=5×10⁷（C/kg），该带电粒子每次与筒壁发生碰撞时电量和能量都不损失，不计粒子重力和空气阻力，则磁感应强度B₂ 多大（结果允许含有三角函数式）．

Answer 1

分析：（1）根据法拉第电磁感应定律，结合磁感应强度的变化率求出感应电动势的大小．结合闭合电路欧姆定律求出电容器C两板间的电压．
（2）根据动能定理求出粒子进入磁场的速度，结合几何关系求出粒子在磁场中运动的半径与r的关系，结合洛伦兹力提供向心力求出磁感应强度的大小．

解答：解：（1）线圈中产生的感应电动势为：E=n

△φ

△t

=n

△B

△t

S=100×2×0.03V=6V  
电容器C两板间电压为：U=R2

E

R1+R2

=4V         
（2）据动能定理有：qU=

1

2

mV2．
带电粒子在磁场中作匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有：qVB2=m

V2

R

．
由于带电粒子与圆筒壁碰撞时无电量和能量损失，那么每次碰撞前后粒子速度大小不变、速度方向总是沿着圆筒半径方向，4个碰撞点与小孔a恰好将圆筒壁五等分，粒子在圆筒内的轨迹具有对称性，由5段相同的圆弧组成，设每段轨迹圆弧对应的圆心角为θ，则由几何关系可得：

r

R

=tan(

θ

2

)．
有两种情形符合题意（如图所示）：

（ⅰ）情形1：每段轨迹圆弧对应的圆心角为：θ=π-

2π

5

=

3π

5

．
得：B2=tan

3π

10

×10-3T
（ⅱ）情形2：每段轨迹圆弧对应的圆心角为：θ′=π-

4π

5

=

π

5

．
将数据代式得：B2=tan(

π

10

)×10-3 (T)．
答：（1）金属线圈的感应电动势为6V，电容器C两板间的电压为4V．
（2）磁感应强度B2=tan

3π

10

×10-3T或B2=tan(

π

10

)×10-3 (T)．

点评：本题考查了电磁感应与电路的综合，以及带电粒子在磁场中运动．对于粒子在磁场中运动，关键确定圆心，根据几何关系确定圆周运动的半径．