题目内容
（20分）一个质量为m1的废弃人造地球卫星在离地面h=800km高空作圆周运动，在某处和一个质量为m2＝
的太空碎片发生迎头正碰，碰撞时间极短，碰后二者结合成一个物体并作椭圆运动。碰撞前太空碎片作椭圆运动，椭圆轨道的半长轴为7500km，其轨道和卫星轨道在同一平面内。已知质量为m的物体绕地球作椭圆运动时，其总能量即动能与引力势能之和
，式中G是引力常量，M是地球的质量，a为椭圆轨道的半长轴．设地球是半径R=6371km的质量均匀分布的球体，不计空气阻力。资.源.网
（i）试定量论证碰后二者结合成的物体会不会落到地球上。.考.资.源.网
（ii）如果此事件是发生在北级上空（地心和北极的连线方向上），碰后二者结合成的物体与地球相碰处的纬度是多少？
解析：
（i）图1为卫星和碎片运行轨道的示意图。以v1表示碰撞前卫星作圆周运动的速度，以M表示地球E的质量，根据万有引力定律和牛顿定律有
（1）
式中G是引力常量．由（l）式得
（2）高.考.资.源.网
以v2表示刚要碰撞时太空碎片的速度，因为与卫星发生碰撞时，碎片到地心的距离等于卫星到地心的距离，根据题意，太空碎片作椭圆运动的总能量
（3）
式中a为椭圆轨道的半长轴．由（3）式得
（4）
卫星和碎片碰撞过程中动量守恒，有
m1v1－m2v2=(m1+m2)v （5）
这里v是碰后二者结合成的物体（简称结合物）的速度．由（5）式得
（6）
由（2）、（4）、（6）三式并代人有关数据得
（7）
结合物能否撞上地球，要看其轨道（椭圆）的近地点到地心的距离rmin，如果rmin<R，则结合物就撞上地球．为此我们先来求结合物轨道的半长轴a '。结合物的总能量
（8）
代人有关数据得 a '=5259km （9）
结合物轨道的近地点到地心的距离
rmin=2 a '－（R+h）=3347km<R （10）
据此可以判断，结合物最后要撞上地球。
（ii）解法一
在极坐标中讨论，取极坐标，坐标原点在地心处，极轴由北极指向南极，如图2所示。碰撞点在北极上空，是椭圆轨道的远地点，结合物轨道的椭圆方程
（11）
式中e是偏心率，p是椭圆的半正焦弦，远地点到地心的距离
rmax=R+h （12）
由解析几何有
（13）
在轨道的近地点，r=rmin，θ=0，由（11）式得
p=rmin(1+e)(=4563km) （14）
或有
p=rmax (1－e) （15）
在结合物撞击地球处；r= R，由（11）式有
（16）
或 
（17）
代人有关数据可得
cosθ=－0.7807 （18）
θ=141.320 （19）
这是在北纬51.320 。
评分标准：本题20分。
第（i）小题12分．（1）或（2）、（3）或（4）、（5）或（6）式各2 分，（8）式3分，（10）式3分。第（ii）小题8分。（11）、（12）、（13）、（14）或（15）、（16）或（17）式各l分，（19）式2分（答案在1410到1420之间的都给2分），正确指出纬度给l分。
解法二
在直角坐标中讨论．取直角坐标系，以椭圆的对称中心为坐标原点O，x轴通过近地点和远地点并由远地点指向近地点，如图3所示。结合物轨道的椭圆方程是
（20）
式中a＇、b＇分别为结合物椭圆轨道的半长轴和半短轴。远地点到地心的距离
rmax=R+h （21）
根据解析几何，若c为地心与坐标原点间的距离，
c= rmax－a＇(=1912km) （22）
而 
（23）
注意到a＇由（9）式给出，得
b＇=4899km （24）
结合物撞击地面处是结合物的椭圆轨道与地面的交点，设该处的坐标为xp和yp，则有
xp=Rcosθ+c （25）
yp=Rsinθ （26）
式中θ为从地心指向撞击点的矢经与x方向的夹角．因撞击点在结合物的轨道上，将（24）、（25）式代入轨道方程（20）式，经整理得
（27）
引人以下符号并代人有关数据得
高.考.资.源.网
ht
高.考.资.源.网
代入（27）式得
（28）
解得 
（29）
舍掉不合理的答案，得
cosθ=－0.7807 （30）
θ=141.320 （31）
这是在北纬51.320 。
评分标准：
（20）、（21）、（22）、（23）或（24）、（27）式各l分，（31）式2分（答案在1410到1420之间的都给2分），正确指出纬度给1 分。
