Question

如图所示，A，B两球质量均为m，其间有压缩的轻短弹簧处于锁定状态（A、B两球与弹簧两端接触但不连接）．弹簧的长度、两球的大小均忽略，整体视为质点，该装置从半径为R的竖直光滑圆轨道左侧与圆心等高处由静止下滑，滑至最低点时，解除对弹簧的锁定状态之后，B球恰好能到达轨道最高点，求：（结果可用根式表示） 
①小球B解除锁定后的速度； 
②弹簧处于锁定状态时的弹性势能．

Answer 1

分析：①小球B解除锁定后，B球恰好能到达轨道最高点，由重力提供向心力，列式可求得B球到轨道最高点的速度．B球从解除锁定到最高点的过程，运用机械能守恒列式求解小球B解除锁定后的速度；
②A、B系统滑到轨道最低点过程，整体的机械能守恒，列式求出整体到达最低点时的速度．对于解锁过程，系统的动量守恒，机械能也守恒，列式求解即可．

解答：解：①小球B解除锁定后，到轨道最高点的速度为v，则有：
B球在最高点，由重力提供向心力，则有：mg=m

v2

R

B球从解除锁定到最高点的过程，由机械能守恒得：

1

2

mv

2 B

=mg?2R+

1

2

mv²
联立解得：v_B=

5gR

②设A、B系统滑到轨道最低点时锁定为v₀，根据机械能守恒得：
  2mgR=2

1

2

mv

2 0

解得：v₀=

2gR

解除弹簧锁定后A、B的速度分别为v_A、v_B，弹性势能为E，根据系统的动量守恒和机械能守恒得：
  2mv₀=mv_A+mv_B，
2×

1

2

mv

2 0

+E_弹=

1

2

mv

2 A

+

1

2

mv

2 B

解得：E_弹=（7-2

10

）mgR
答：
①小球B解除锁定后的速度为

5gR

；
②弹簧处于锁定状态时的弹性势能为（7-2

10

）mgR．

点评：本题关键是两个球和弹簧系统机械能守恒，抓住小球到达最高点的临界条件：重力充当向心力，根据动量守恒定律，及机械能守恒定律多次列式即可．