题目内容
【题目】如图所示，足够长的平直轨道AO和OB底端平滑对接，将它们固定在同一竖直平面内，两轨道与水平地面间的夹角分别为α（固定不变）和β（可取不同的值），且α＞β，现将可视为质点的一小滑块从左侧轨道的P点由静止释放，若小滑块经过两轨道的底端连接处的速率没有变化.已知AO轨道光滑，空气阻力可以忽略不计.
(1)论证：滑块在AO轨道下滑时的加速度与滑块的质量无关；
(2)运用牛顿运动定律和运动学规律，论证:若OB光滑，取不同的β角，滑块在OB上能到达的最高点总与P等高；
(3)运用牛顿运动定律和运动学规律，建立适当的坐标系，论证:若OB不光滑，滑块与OB轨道间的动摩擦因数处处相等，取不同的β角，滑块在OB上能到达的最高点排布在一条直线上.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
小球先在斜面AO上向下做匀加速运动，后沿斜面OB向上做匀减速运动，根据牛顿第二定律和速度时间关系公式、位移时间关系公式可以得出对应的规律.证明最高点构成一条直线需要联系数学构建一次函数.
(1)对滑块受力分析，受重力、斜面的支持力，
由牛顿第二定律：
得：，则下滑加速度与滑块的质量无关.
(2)设OP的竖直高度为H
由匀加速直线运动的速度位移公式
若OB光滑，则滑块上滑做匀减速直线运动，设上升的最大高度为
则
联立解得：，
即OB光滑，取不同的β角，滑块在OB上能到达的最高点总与P等高.
(3)设粗糙斜面的动摩擦因数为
，以O点为坐标原点建立竖直向上和水平向右的坐标系，设最高点的水平坐标x，总坐标为y.
由受力结合牛顿第二定律可得，上滑的加速度为
由运动学公式：
联立解得：
可得最高点的坐标方程为：
由于
为一次函数，且为常量，故Q点在同一直线上.
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