Question

12．一物体在空气中由静止下落，若物体下落时受到的空气阻力与它的速度平方成正比，即f=kv²．已知当物体的速度达到40m/s后就匀速下落．则物体刚开始下落时的加速度为10m/s²；当物体速度为10m/s时的加速度为9.375m/s²；当物体加速度为5m/s²时的速度为$20\sqrt{2}$m/s．

Answer 1

分析 当物体匀速下落时，重力与空气阻力平衡，大小相等．当物体的速度为10m/s时，重力与空气阻力的合力产生加速度，由牛顿第二定律列出加速度的表达式，由f=kv²，分别列出速度为40m/s时和10m/s时空气阻力表达式，联立求解加速度．

解答 解：物体刚开始下落时的加速度为重力加速度g=10m/s²，
当物体匀速下落时，重力与空气阻力平衡，大小相等，
即有：mg=kv₁²…①
当物体的速度为10m/s时，空气阻力大小为kv₂²．由牛顿第二定律得：
mg-kv₂²=ma…②
将①代入②得：
mg-$\frac{mg}{{{v}_{1}}^{2}}•{{v}_{2}}^{2}$=ma
得到：a=9.375m/s²
当物体加速度为5m/s²时，根据牛顿第二定律得：
mg-kv₃²=ma′
解得：v₃=$20\sqrt{2}m/s$
故答案为：10，9.375，$20\sqrt{2}$

点评 本题是平衡条件与牛顿第二定律的综合应用，关键是列出空气阻力的表达式．即便题干中没有表达式f=kv²，由题设条件也能写出这样的式子．