Question

1．如图所示，质量m_C=3kg的小车C停放在光滑水平面上，其上表面与水平粗糙轨道MP齐平，且左端与MP相接触．轨道左侧的竖直墙面上固定一轻弹簧，现用外力将小物块B缓慢压缩弹簧，当离小车C左端的距离l=1.25m时由静止释放，小物块B在轨道上运动并滑上小车C，已知小物块B的质量m_B=1kg，小物块B由静止释放的弹性势能E_P=4.5J，小物块B与轨道MP和小车C间的动摩擦因数均为μ=0.2，取重力加速度g=10m/s²．
（1）求小物块B滑上小车C时的速度大小v_B；
（2）求小物块B滑上小车C后，为保证小物块B不从小车C上掉下来，求小车C的最小长度L；
（3）若小车C足够长，在小物块B滑上小车C的同时，在小车C右端施加一水平向右的F=7N的恒力，求恒力作用t=2s时小物块B距小车C左端的距离x．

Answer 1

分析 （1）小物块B从释放运动到P的过程，运用功能关系求物块B滑上小车C时的速度大小v_B；
（2）小物块B恰好不从小车C上掉下来时，B滑到C的右端，且两者速度相同，此时小车的长度最小．根据BC系统的动量守恒和能量守恒求小车C的最小长度L；
（3）在小物块B滑上小车C的同时，在小车C右端施加一水平向右的F=7N的恒力，B将先做匀减速运动，C先做匀加速运动，由牛顿第二定律求出它们的加速度．由速度公式求出BC达到共同速度的时间和速度．由位移公式求出各自的位移．判断共速后BC能否一起匀加速，再求小物块B距小车C左端的距离x．

解答 解：（1）小物块B从释放运动到P的过程，根据功能关系有：
    E_P=μm_Bgl+$\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{B}^{2}$
解得 v_B=2m/s
（2）取B和C为研究对象，以向右为正方向，由动量守恒定律得
    m_Bv_B=（m_B+m_C）v
解得 v=0.5m/s
又由系统的能量守恒有 
    $\frac{1}{2}$m_Bv_B²-$\frac{1}{2}$（m_B+m_C）v²=μm_BgL
解得 L=0.75m
（3）物块B滑上小车C后，将先做匀减速运动，其加速度大小为 a_B=$\frac{μ{m}_{B}g}{{m}_{B}}$=μg=2m/s²．
小车C将先做匀加速运动，其加速度大小 a_C=$\frac{F+μ{m}_{B}g}{{m}_{C}}$
代入数据解得 a_C=3m/s²．
设经过时间t₁时B、C有共同速度v_共，则  
  v_共=v_B-a_Bt₁=a_Ct₁．
解得 v_共=1.2m/s，t₁=0.4s
物块B对地的位移 x₁=$\frac{{v}_{B}+{v}_{共}}{2}{t}_{1}$=$\frac{2+1.2}{2}×0.4$m=0.64m
小车C对地的位移 x₂=$\frac{{v}_{共}}{2}{t}_{1}$=$\frac{1.2}{2}×0.4$m=0.24m
假设此后小车与物块以共同加速度前进，则a_共=$\frac{F}{{m}_{B}+{m}_{C}}$=$\frac{7}{4}$m/s²．
由于此种情况下，B、C间的静摩擦力 f=m_Ba_共=$\frac{7}{4}$N＜μm_Bg=2N，可知假设成立．
所以在t₁=0.4s后B、C一起以a_共做匀加速运动．
则所求 x=x₁-x₂=0.4m
答：
（1）小物块B滑上小车C时的速度大小v_B是2m/s．
（2）小车C的最小长度L是0.75m；
（3）恒力作用t=2s时小物块B距小车C左端的距离x是0.4m．

点评 解决该题关键要分析物体的运动过程，以及能量的转化情况，要挖掘隐含的临界状态：B、C速度相同的状态，结合动量守恒定律、能量守恒定律和牛顿第二定律、规律进行求解．