Question

如图所示，质量为m的小球在水平向左的恒定外力作用下从光滑的水平轨道上的A点由静止出发，运动到B点时撤去外力后，小球沿竖直面内的半径为R的光滑半圆形轨道运动，恰好能通过轨道最高点C，小球脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A．
求：
（1）小球运动至最高点C时的速度大小v_C；  
（2）小球从C点落回至A点的时间t；
（3）AB两点间的距离x；    
（4）小球在水平面上从A运动到B时所受的水平恒力F的大小．

Answer 1

分析：（1）小球恰好能通过轨道最高点C时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律可求出v_C；
（2）小球从C点落回至A点是做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，由高度即可求出时间．
（3）由平抛运动的时间和v_C，可求出AB两点间的距离．
（4）从A到C过程，根据动能定理求出恒力F的大小．

解答：解：（1）小球恰能通过半圆形轨道最高点C，则：
   mg=m

v 2 C

R

得，vC=

gR

（2）小球从C点落回至A点是做平抛运动，则有：
   h=2R=

1

2

gt2
故小球从C点落回至A点的时间t=2

R g

（3）AB两点间的距离 x=vC?t=

gR

?2

R g

=2R．
（4）对于小球从A运动到C过程，根据动能定理得：
   F?x-mg?2R=

1

2

m

v

2 C

-0
  解得：F=

5

4

mg
答：（1）小球运动至最高点C时的速度大小v_C为

gR

．
（2）小球从C点落回至A点的时间t为2

R g

；
（3）AB两点间的距离x等于2R；
（4）小球在水平面上从A运动到B时所受的水平恒力F的大小为

5

4

mg．

点评：本题是向心力、平抛运动、动能定理等知识的综合，抓住隐含的临界状态求解v_C．难度不大．