题目内容

11．一个宇航员到达某一行星后，在该行星表面上做了如下实验．如图，在竖直平面内有一端固定的光滑轨道，其中AB是光滑的水平直轨道，BC是圆心为O，半径为R的半圆轨道，两轨道相切于B点，一小球从A点以初速度v0开始做匀速直线运动，经过B点后冲上圆弧轨道，已知小球刚好能沿圆轨道经过最高点C，已知该星球的半径为R1，万有引力常量为G，求：
（1）该行星的质量M；
（2）如果要在该行星上发射一颗卫星，求发射卫星的最小速度．

分析 （1）根据机械能守恒定律及向心力公式求行星表面的重力加速度，再由重力等于万有引力列式求出行星的质量
（2）根据重力提供向心力求出行星的第一宇宙速度，即发射卫星的最小速度

解答 解：（1）从A到C根据机械能守恒定律，有$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=mg•2R+\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}①$
在最高点有：$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$②
联立①②得$g=\frac{{v}_{0}^{2}}{5R}$③
行星表面的物体重力等于万有引力$m′g=G\frac{Mm′}{{R}_{1}^{2}}$④
解得行星的质量：$M=\frac{{v}_{0}^{2}{R}_{1}^{2}}{5RG}$
（2）在该行星上发射卫星的最小速度，即第一宇宙速度$mg=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}^{\;}}$
解得：${v}_{1}^{\;}=\sqrt{g{R}_{1}^{\;}}=\sqrt{\frac{{v}_{0}^{2}{R}_{1}^{\;}}{5R}}$
答：（1）该行星的质量M为$\frac{{v}_{0}^{2}{R}_{1}^{2}}{5RG}$；
（2）如果要在该行星上发射一颗卫星，发射卫星的最小速度$\sqrt{\frac{{v}_{0}^{2}{R}_{1}^{\;}}{5R}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用，难度适中．

练习册系列答案
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