题目内容

9．如图，某货场需将质量为m1=100kg的货物（可视为质点）从高处运送至地面，为避免货物与地面发生撞击，现利用固定于地面的光滑四分之一圆轨道，使货物由轨道顶端无初速滑下，轨道半径R=1.8m．地面上紧靠轨道依次排放两个完全相同的木板A、B，长度均为l=2.0m，质量均为m2=100kg，木板上表面与轨道末端相切．货物与木板间的动摩擦因数为μ1，木板与地面间的动摩擦因数μ=0.20．（最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取g=10m/s2）
（1）求货物到达圆轨道末端时受轨道的支持的大小．
（2）若货物滑上木板A时，木板不动；而滑上木板B时，木板B开始滑动，求μ1应满足的条件．
（3）若μ1=0.5，求货物滑到木板A末端时的速度和在木板B上运动的时间．

分析 （1）物体下滑的过程中，机械能守恒，根据机械能守恒可以得出到达底端时的速度，再由向心力的公式可以求得物体受到的支持力的大小，根据牛顿第三定律可以得到货物到达圆轨道末端时对轨道的压力大小；
（2）货物滑上木板A时，木板不动，说明此时货物对木板的摩擦力小于地面对木板的摩擦力的大小，而滑上木板B时，木板B开始滑动，说明此时货物对木板的摩擦力大于了地面对货物的摩擦力的大小，由此可以判断摩擦因数的范围．
（3）当μ1=0.5时，由⑥式可知，货物在木板A上滑动时，木板不动，货物做的是匀减速直线运动，位移是木板的长度L，由匀变速直线运动的规律可以求得

解答 解：（1）机械能守恒定律得：
$mgR=\frac{1}{2}{{m}_{1}v}_{0}^{2}$…①
根据牛顿第二定律得：
${F}_{N}-{m}_{1}g=\frac{{{m}_{1}v}_{0}^{2}}{R}$…②
联立以上两式代入数据得：
FN=3.0×103N…③
（2）若滑上木板A时，木板不动，有：
μ1m1g≤μ2（m1+2m2）g…④
若滑上木板B时，木板B开始滑动，由受力分析得：
μ1m1g＞μ2（m1+m2）g…⑤
联立④⑤式代入数据得：
0.4＜μ1≤0.6…⑥
（3）当μ1=0.5时，由⑥式可知，货物在木板A上滑动时，木板不动．设货物在木板A上做减速运动时的加速度大小为a1，由牛顿第二定律得：
μ1m1g=m1a1 …⑦
设货物滑到木板A末端是的速度为V1，由运动学公式得：
V12-V02=-2a1L…⑧
联立①⑦⑧式代入数据得：
V1=4m/s…⑨
设在木板A上运动的时间为t，由运动学公式得：
V1=V0-a1t…⑩
联立①⑦⑨⑩式代入数据得：
t=0.4s．
货物在B上向右做匀减速运动，由牛顿第二定律得
对物体：μ1m1g=m1a1，得a1=μ1g=5m/s2
对B：μ1m1g-μ（m1+m2）g=m2a2，得a2=1m/s2．
假设两者能有共同的速度，即有
v1-a1t=a2t
解得，货物在木板B上运动的时间   t=0.67s
共同速度为v=a2t=0.67m/s
此过程中，货物的位移大小为x1=

v1+v
2
t，B的位移大小为x2=
v
2
t
则货物相对于B的位移大小为△x=x1-x2=
v1t
2
=1.3m＜l=2m，说明两者速度相同时，货物仍在B上．
所以货物在木板B上运动的时间为0.67s．
答：（1）货物到达圆轨道末端时对轨道的压力是3000N；
（2）若货物滑上木板A时，木板不动，而滑上木板B时，木板B开始滑动，μ1应满足的条件是0.4＜μ1≤0.6；
（3）若μ1=0.5，求货物滑到木板A末端时的速度是4m/s，在木板A上运动的时间是0.67s．

点评 本题考查了机械能守恒、圆周运动和牛顿运动定律的应用，特别需要注意的是货物在水平面上运动时木板的运动状态，由于是两块木板，所以货物运到到不同的地方时木板的受力不一样

练习册系列答案
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