Question

（2009?宁波模拟）如图，空间XOY的第一象限存在垂直XOY平面向里的匀强磁场，第四象限存在平行该平面的匀强电场（图中未画出）；OMN是一绝缘弹性材料制成的等边三角形框架，边长L为4m，OM边上的P处开有一个小孔，OP距离为1m．现有一质量m为1×10^-18kg，电量q为1×10^-15C的带电微粒（重力不计）从Y轴上的C点以速度 V₀=1×10²m/s平行X轴射入，刚好可以垂直X轴从点P进入框架，CO距离为2m．粒子进入框架后与框架发生若干次垂直的弹性碰撞，碰撞过程中粒子的电量和速度大小均保持不变，速度方向与碰前相反，最后粒子又从P点垂直X轴射出，求：
（1）所加电场强度的大小；
（2）所加磁场磁感应强度大小；
（3）求在碰撞次数最少的情况下，该微粒回到C点的时间间隔．

Answer 1

分析：（1）将粒子的运动分解成水平方向的匀减速运动和竖直向上的匀加速运动，分别使用运动学的公式求出粒子的加速度，然后求出电场强度；
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，其半径R=

mv

qB

，若粒子又从P点垂直X轴射出则满足（1+2n）R=OP，代人数据即可求得结果．
（3）当粒子与框架碰撞次数最少，知粒子在磁场中的运动半径等于OP的长度，结合几何关系求出粒子在磁场中运动的圈数，从而得出在磁场中的运动时间，抓住匀变速直线运动的平均速度公式，根据等时性求出在电场中的运动时间，从而得出微粒回到C点的时间间隔．

解答：解：粒子在匀强电场中运动时，在X轴方向上的位移为1m．
根据速度位移公式有：

V

2 0

=2aXSX
代入数据得，（1×10²）²=2a_X×1
解得aX=5×103m/s2
因为

VY

2

t=OC，

Vx

2

t=OP，
粒子到达P点时速度为：VY=2VX=2V0=2×102m/s
aY=2aX=1×104m/s
粒子的加速度为a=5

5

×103m/s2
E=

ma

q

=5

5

V/m．
（2）设粒子在框架内的圆周运动半径为R
由分析可知（1+2n）R=OP
解得：R=

1

1+2n

m(n=0，1，2，3…)
由R=

mv

qB

得
则B=

mv

qB

=

1+2n

5

T（n=0，1，2，3…）
（3）设从C到P运动的时间为t₀
碰撞次数最小的情况下在磁场中运动的周期为T，如图所示，在磁场中运动了2周．
从C到P的时间t0=

OP

( V0 2 )

=

1

50

=2×10-2s．
T=

2πm

qB

=3.14×10-2s．
在电场中的运动时间t1=2t0=4×10-2s．
在磁场中运动的时间t2=2T=6.28×10-2s．
回到C点的时间t_总=0.1028s．
答：（1）所加电场强度的大小为5

5

V/m．
（2）所加磁场磁感应强度大小为

1+2n

5

T（n=0，1，2，3…）．
（3）微粒回到C点的时间间隔为0.1028s．

点评：该题是组合场问题，对数学几何能力的要求较高，抓住（1+2n）R=OP 是解决该题的关键．该题的难度较大．