Question

如图所示，竖直平面内有一光滑圆弧轨道，其半径为R，平台与轨道的最高点等高，一小球从平台边缘的A处水平射出，恰能沿圆弧轨道上的P点的切线方向进入轨道内侧，轨道半径OP与竖直线的夹角为45°，重力加速度为g，试求：
（1）小球从平台上的A点射出时的速度v₀；
（2）小球从平台上射出点A到圆轨道入射点P之间的距离l；
（3）小球能否沿轨道通过圆弧的最高点？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧，说明到到A点的速度v_A方向与水平方向的夹角为θ，这样可以求出初速度v₀；
（2）平抛运动水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，根据平抛运动的基本规律求出P点与A点的水平距离和竖直距离，并进行合成求出位移大小；
（3）设小球能到达D点，根据机械能守恒定律求得D点速度，再运用牛顿第二定律和圆周运动知识求解．

解答：解：（1）小球从A到P的高度差h=R（1+cos45°）=（

2

2

+1）R
小球做平抛运动有     h=

1

2

gt²   
小球平抛时间     t=

2h g

=

(2+ 2 )R g

  
则小球在P点的竖直分速度v_y=gt=

(2+ 2 )gR

    
把小球在P点的速度分解可得v₀=v_y    
所以小球平抛初速度v₀=

(2+ 2 )gR

    
（2）小球平抛下降高度 h=

1

2

v_y?t   
水平射程    s=v₀t=2h  
故A、P间的距离
l=

h2+s2

=

5

h   
由上式可解得 l=（

5

+

1

2

10

）R   
（3）能．小球从A到达Q时，根据机械能守恒定律可得
v_Q=v₀=

(2+ 2 )gR

＞

gR

，所以小球能通过圆弧轨道的最高点．
答：（1）小球从平台上的A点射出时的速度v₀=

(2+ 2 )gR

；
（2）小球从平台上射出点A到圆轨道入射点P之间的距离为

5

h；
（3）小球能沿轨道通过圆弧的最高点，根据机械能守恒定律可得：v_Q=v₀=

(2+ 2 )gR

＞

gR

，所以小球能通过圆弧轨道的最高点．

点评：恰能无碰撞地沿圆弧切线从B点进入光滑竖直圆弧轨道，这是解这道题的关键，理解了这句话就可以求得小球的末速度，本题很好的把平抛运动和圆周运动结合在一起运用机械能守恒解决，能够很好的考查学生的能力，是道好题．本题是平抛运动和圆周运动相结合的典型题目，除了运用平抛运动和圆周运动的基本公式外，求速度的问题，动能定理不失为一种好的方法．