Question

16．人类发射的空间探测器进入某行星的引力范围后，绕该行星做匀速圆周运动．已知该行星的半径为R，探测器运行轨道在其表面上空高h处，运行周期为T．求该行星的质量M和它的平均密度ρ．

Answer 1

分析 空间探测器绕该行星做匀速圆周运动，行星的万有引力提供向心力，用周期表示出向心力F_n=$\frac{m4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$，然后结合万有引力定律即可求出行星的质量．行星看做球体，用球体的体积公式V=$\frac{4}{3}$πR³和ρ=$\frac{M}{V}$进而求出它的平均密度

解答 解：空间探测器绕该行星做匀速圆周运动，行星的万有引力提供向心力，由万有引力定律和牛顿第二定律得：$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}$=$\frac{m4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$
  解得求该行星的质量M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$
行星的体积V=$\frac{4}{3}$πR³，又∵ρ=$\frac{M}{V}$
联立以上三式解得行星的平均密度ρ=$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$
答：该行星的质量$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$，它的平均密度$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$

点评 此题一定明确万有引力提供向心力，会用周期表示向心力，还要知道球体的体积公式及密度公式，同时注意公式间的化简