题目内容

8．如图所示，宽度为d的竖直狭长区域内（边界为L1、L2），存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场（如图所示），电场强度的大小为E0，E＞0表示电场方向竖直向上．t=0时，一带正电、质量为m的微粒从左边界上的N1点以水平速度v射入该区域，沿直线运动到Q点后，做二次完整的圆周运动（其轨迹恰好不穿出边界L1），以后可能重复该运动形式，最后从边界L2穿出．重力加速度为g，上述d、E0、m、v、g为已知量．

（1）求该微粒通过Q点瞬间的加速度；
（2）求磁感应强度B的大小和电场变化的周期T；
（3）若微粒做圆周运动的轨道半径为R，而d=4.5R，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求微粒所用的时间．

分析 （1）微粒沿直线通过时在竖直方向上受力平衡，根据平衡求得各力大小，从而求得微粒通过Q点瞬间的加速度；
（2）微粒圆周运动恰好不穿出边界从而求得圆周运动的半径，再根据半径公式和周期公式求出电场变化的周期；
（3）作出微粒运动的轨迹示意图，由图根据周期性求得粒子运动的总时间．

解答 解：（1）微粒从N到Q，因做直线运动所以满足：
mg+qE0=qvB              ①
从Q点开始微粒做圆周运动，则有：
mg=qE0                 ②
因为在Q点，微粒开始做圆周运动，则此时重力与电场力平衡，微粒所受合力满足：
Bqv=ma               ③
由①②③可解得微粒在Q点的瞬时加速度a=2g
（2）由mg+qE0=qvB和mg=qE0则可得：
qvB=2mg=2qE0
解得磁感应强度B=$\frac{2{E}_{0}}{v}$
设微粒从N1运动到Q的时间为t1，做圆周运动的周期为t2，
因微粒恰好没穿出L1边界，则
微粒圆周运动的半径：R=$\frac{mv}{qB}=\frac{m{v}^{2}}{2mg}$=vt1
所以可以得：${t}_{1}=\frac{v}{2g}$
据洛伦兹力提供圆周运动向心力有：
qvB=m$\frac{v2}{R}$
2πR=vt2
解得：${t}_{2}=\frac{2πR}{v}=\frac{2π\frac{mv}{qB}}{v}=\frac{πv}{g}$
所以可得电场变化的周期T=t1+2t2=$\frac{v}{2g}$+2$\frac{πv}{g}$=$\frac{4π+1}{2g}v$；
（3）（5分）若d=4.5R据题意可画出微粒如图的运动轨迹．
从图由运动的周期性可知：
微粒运动的总时间t=3T+t1+$\frac{1}{12}$t2=3（$\frac{4π+1}{2g}v$）+$\frac{v}{2g}$+$\frac{1}{12}$$\frac{πv}{g}$=$\frac{73π+24}{12g}v$
答：（1）该微粒通过Q点瞬间的加速度为2g；
（2）磁感应强度B的大小为$\frac{2{E}_{0}}{v}$和电场变化的周期T为$\frac{4π+1}{2g}v$；
（3）若微粒做圆周运动的轨道半径为R，而d=4.5R，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，微粒所用的时间为$\frac{73π+24}{12g}v$．

点评 本题考查了求加速度、磁感应强度、周期与运动时间，分析清楚微粒运动过程是正确解题的前提与观念，作出粒子运动轨迹，应用平衡条件、牛顿第二定律、粒子周期公式即可正确解题．

练习册系列答案
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