Question

10．如图所示，一透明玻璃正方体边长L=1cm，上表面中心嵌有一点状光源，已知玻璃正方体对该光的折射率n=$\sqrt{2}$，求四侧面和底面能直接透光的区域的总面积．（不考虑光经过反射后的折射）

Answer 1

分析 根据sinC=$\frac{1}{n}$求出全反射的临界角，能直接透光的区域光线不发生全反射，结合几何关系求解直接透光的区域的总面积．

解答 解：根据公式sinC=$\frac{1}{n}$可知，光源发出的光射到侧面恰好发生全反射时，临界角 C=45°，如入射光线SA
由几何关系可知，在每一个侧面能透光的区域是半径 r=0.5m的半圆，所以四个侧面能透光的总面积为：
S₁=4×$\frac{1}{4}π{r}^{2}$
解得：S₁=$\frac{π}{2}$ m²；
当光线射到底角B点时，由几何关系知，入射角θ的正弦为：sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
故整个底面都有光线射出，即：S₂=1 m²；
所以四侧面和底面能直接透光的区域的总面积为：S=S₁+S₂=（1+$\frac{π}{2}$）m²．
答：四侧面和底面能直接透光的区域的总面积为（1+$\frac{π}{2}$）m²．

点评 本题考查几何光学问题，对数学的能力要求较高，掌握临界角与折射率的关系，运用几何知识帮助解答．