Question

14．如图，高h、长L的光滑绝缘正方形台面上加有一竖直向下、磁感应强度B的匀强磁场．在台面右侧接着一个与内侧边线对齐、每板宽为d（＜$\frac{L}{2}$）的平行板电容器（电容器有光滑绝缘的底部），右板接电源的正极，左板接电源负极，现有质量为m、电量为+q的一群粒子（视为质点）从靠近右板在底部由静止释放，通过左板的小孔进入磁场，不计一切阻力，重力加速度取g．

（1）若取电容器的电压为U，求这些带电粒子在磁场中运动的半径；
（2）若要求这些粒子都从台面右侧射出，则电容器的电压应满足什么条件？
（3）在地面建立如图坐标系，当U=$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{32m}$时，画出这些粒子落地时在这个坐标系中的PQ连线．

Answer 1

分析 （1）由动能定理可求得带电粒子离开电容器时的速度，再由洛仑力充当向心力可求得粒子在磁场中的半径；
（2）由几何关系可得出最大半径，则可求出最大电压，分析粒子的运动可得出电压的范围；
（3）由已知电压可得出粒子在磁场中的半径，分析粒子到这位置，再根据电场中的类平抛运动规律可求得粒了偏转的位移．

解答 解：（1）在电容器中，根据动能定理，有：$qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$       ①
在磁场中，根据洛仑兹力等于向心力，有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$         ②
①②联立得粒子运动的半径为：$R=\sqrt{\frac{2mU}{q{B}^{2}}}$    ③
（2）当在电容器底部外侧经加速的粒子恰好能从台面的外侧相切射出时，粒子的半径最大，如图所示．
即${R}_{m}=\frac{L-d}{2}$                      ④
④代入③解得：${U}_{m}=\frac{（L-d）^{2}q{B}^{2}}{8m}$        ⑤
当U＞0，在电容器内侧粒子，那怕不能一次在磁场中从台面右侧射出，也可以再进入电容器减速至底部右侧，又再重新加速进入磁场，多周后也能从台面右侧射出．
故电容器的电压满足的条件为：$0＜{U}_{m}≤\frac{（L-d）^{2}q{B}^{2}}{8m}$．
（3）把$U=\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{32m}$代入③得粒子运动的半径为：$R=\frac{L}{4}$．
说明当粒子从电容器远侧射入磁场时，粒子从台面右侧中点射出，当粒子从电容器近侧射入磁场时，粒子从台面距中点为d处射出．         
粒子从台面右侧射出后做平抛运动，设它的落地时间为t．
由$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，得：$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
粒子水平位移x=vt=$\frac{qBL}{4m}\sqrt{\frac{2h}{g}}$．
至此可作得这些粒子落地时的轨迹如右图所示中的PQ连线．
答：（1）这些带电粒子在磁场中运动的半径为$\sqrt{\frac{2mU}{q{B}^{2}}}$；
（2）电容器的电压应满足：$0＜{U}_{m}≤\frac{（L-d）^{2}q{B}^{2}}{8m}$．
（3）这些粒子落地时的轨迹如右图所示中的PQ连线．

点评 本题为带电粒子磁场及电场中的运动问题，要注意全面掌握粒子的运动情况，明确几何关系及运动的合成与分解在解题中的应用．