Question

如图所示，水平面上固定有平行导轨，磁感应强度为B的匀强磁场方向竖直向下．同种合金做的导体棒ab、cd横截面积之比为2：1，长度和导轨的宽均为L，ab的质量为m，电阻为r，开始时ab、cd都垂直于导轨静止，不计摩擦．给ab一个向右的瞬时冲量I，在以后的运动中，cd的最大速度V_m、最大加速度a_m、产生的电热各是多少？

Answer 1

分析：首先分析两棒的受力情况，来判断它们的运动情况：给ab冲量后，ab获得速度向右运动，回路中产生感应电流，cd受安培力作用而加速，ab受安培力而减速，当两者速度相等时，都开始做匀速运动，所以开始时cd的加速度最大，最终cd的速度最大，全过程系统动能的损失都转化为电能，电能又转化为内能，先根据电阻定律求出两棒的电阻之比，得到它们产生的热量之比．
根据系统的动量守恒求出最大速度v_m．
根据法拉第定律、欧姆定律和安培力公式求出cd的最大加速度a_m．
根据能量守恒求出产生的电热．

解答：解：给ab冲量后，ab获得速度向右运动，回路中产生感应电流，cd受安培力作用而加速，ab受安培力而减速，当两者速度相等时，都开始做匀速运动，所以开始时cd的加速度最大，最终cd的速度最大，全过程系统动能的损失都转化为电能，电能又转化为内能．
由于ab、cd横截面积之比为2：1，材料和长度相同，所以根据电阻定律得知，它们的电阻之比为1：2，质量之比为2：1．所以cd棒的质量为

1

2

m．
由题，由动量定理得：ab的初速度为v₁=

I

m

，两棒组成的系统所受的合外力为0，动量守恒，则有：
  mv₁=（m+

1

2

m）v_m
解得，最后的共同速度为：v_m=

2I

3m

，
开始运动时又有：E=BLv₁，I=

E

r+2r

，F=BIL，a_m=

F

m 2

=

2F

m

，解得：a_m=

2B2L2I

3m2r

．
据焦耳定律得知：Q=I²Rt∝R，所以cd上产生的电热应该是回路中产生的全部电热的

2

3

．
系统统动能的损失为：△E_k=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

(m+

1

2

m)

v

2 m

=

I2

6m

，
由能量守恒定律可知，系统产生的电热总量为：Q=△E_k=

I2

6m

，
其中cd上产生电热Q_cd=

2

3

Q=

I2

9m

．
答：在以后的运动中，cd的最大速度V_m、最大加速度a_m、产生的电热各是

2I

3m

，

2F

m

，

I2

9m

．

点评：本题以双杆模型，分析两棒的运动情况是解题至关重要的步骤，再根据电磁感应和力学的规律求解．