Question

7．如图所示，水平不光滑轨道AB与半圆形光滑的竖直圆轨道BC相连，B点与C点的连线沿竖直方向，AB段长为4R，圆轨道的半径为R．一个小滑块以初速度$\sqrt{8gR}$从A点开始沿轨道滑动，已知它运动到C点时对轨道的压力大小恰好等于其重力，已知小球质量为m．重力加速度为g．求：
（1）滑块与水平轨道间的动摩擦因数；
（2）圆周BC上有一个和圆心O点等高的F点，当小球到达F点时小球对轨道的作用力．
（3）假设改变v₀的大小，使得小球到达C点后离开轨道作平抛运动，恰好到达A点，此时v₀为多大？

Answer 1

分析 （1）先由牛顿第二定律可求得C点的速度，从A到C，运用动能定理列式可解得滑块与水平轨道间的动摩擦因数．
（2）从F到C的过程，由动能定理求出F点的速度，再由牛顿第二定律求解轨道对小球的作用力，即可得到小球对轨道的作用力．
（3）小球离开C点后作平抛运动，由分位移公式求出C点的速度，再由动能定理求解v₀．

解答 解：（1）据题在C点有：mg+mg=m$\frac{{v}_{c}^{2}}{R}$，
得：v_C=$\sqrt{2gR}$
从A到C的过程中，由动能定理得：
-μmg•4R-mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
又 v_A=$\sqrt{8gR}$
联立以上三式得：μ=0.25
（2）从F到C的过程，由动能定理得：
-mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{F}^{2}$
在F点，由牛顿第二定律得：F′=m$\frac{{v}_{F}^{2}}{R}$
可得：F′=4mg
由牛顿第三定律得：F=F′=4mg
（3）小球离开C点后作平抛运动，则得：
  2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
  4R=v_Ct
联立可得：v_C=2$\sqrt{gR}$
根据动能定理得：
-μmg•4R-mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v₀=2$\sqrt{3gR}$
答：（1）滑块与水平轨道间的动摩擦因数是0.25；
（2）圆周BC上有一个和圆心O点等高的F点，当小球到达F点时小球对轨道的作用力是4mg．
（3）假设改变v₀的大小，使得小球到达C点后离开轨道作平抛运动，恰好到达A点，此时v₀为2$\sqrt{3gR}$．

点评 对于多过程的题目，一定要明确物体的运动过程，通过分析从而找出正确的解题方法．一般来说涉及力在空间的效果优先考虑动能定理．