Question

20．如图甲所示，BCD为竖直放置的半径R=0.20m的半圆形轨道，在半圆形轨道的最低位置B和最高位置D均安装了压力传感器，可测定小物块通过这两处时对轨道的压力F_B和F_D．半圆形轨道在B位置与水平直轨道AB平滑连接，在D位置与另一水平直轨道EF相对，其间留有可让小物块通过的缝隙．一质量m=0.20kg的小物块P（可视为质点），以不同的初速度从M点沿水平直轨道AB滑行一段距离，进入半圆形轨道BCD经过D位置后平滑进入水平直轨道EF．一质量为2m的小物块Q（可视为质点）被锁定在水平直轨道EF上，其右侧固定一个劲度系数为k=500N/m的轻弹簧．如果对小物块Q施加的水平力F≥30N，则它会瞬间解除锁定沿水平直轨道EF滑行，且在解除锁定的过程中无能量损失．已知弹簧的弹性势能公式E_P=$\frac{1}{2}$kx²，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量．g取10m/s²．

（1）通过传感器测得的F_B和F_D的关系图线如图乙所示．若轨道各处均不光滑，且已知轨道与小物块P之间的动摩擦因数μ=0.10，MB之间的距离x_MB=0.50m．当F_B=18N时，求：
①小物块P通过B位置时的速度v_B的大小；
②小物块P从M点运动到轨道最高位置D的过程中损失的总机械能；
（2）若轨道各处均光滑，在某次实验中，测得P经过B位置时的速度大小为2$\sqrt{6}$m/s．求在弹簧被压缩的过程中，弹簧的最大弹性势能．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律，结合B点的压力大小求出B点的速度．
根据：△E₁=μmgx_MB求出小物块P从M到B所损失的机械能，根据牛顿第二定律求出D点的速度，根据动能定理求出B到D过程中克服摩擦力做功，从而求出小物块P从M点运动到轨道最高点D的过程中所损失的机械能．
（2）根据机械能守恒求出D点的速度，通过能量守恒、动量守恒定律，求出弹簧的最大弹性势能．

解答 解：（1）①设小物块P在B、D两位置受轨道弹力大小分别为N_B、N_D，速度大小分别为v_B、v_D．
根据牛顿第三定律可知 N_B=F_B，N_D=F_D，
小物块P通过B位置时，根据牛顿第二定律有${N}_{B}-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
代入数据解得：v_B=4.0m/s；    
②小物块P从M到B所损失的机械能为：△E₁=μmgx_MB=0.1×2×0.50J=0.10J
小物块P通过D位置时，根据牛顿第二定律有${N}_{D}+mg=m\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$，
代入数据解得：v_D=2.0m/s．
小物块P由B位置运动到D位置的过程中，克服摩擦力做功为W_f，
根据动能定理有-W_f-mg2R=$\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
代入数据解得：W_f=0.40J；   
小物块P从B至D的过程中所损失的机械能△E₂=0.40J．
小物块P从M点运动到轨道最高点D的过程中所损失的机械能△E=0.50J．

（2）在轨道各处均光滑的情况下，设小物块P运动至B、D位置速度大小分别为v_B′、v_D′．
根据机械能守恒定律有：$\frac{1}{2}m{v}_{B}{′}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{D}{′}^{2}=2mgR$，
代入数据解得：v_D′=4.0m/s，
小物块P向小物块Q运动，将压缩弹簧，当弹簧的压缩量x=$\frac{F}{k}$时，小物块Q恰好解除锁定．设小物块P以v_x速度大小开始压缩弹簧，当其动能减为零时，刚好使小物块Q解除锁定．
根据能量守恒有 $\frac{1}{2}m{{v}_{x}}^{2}=\frac{1}{2}k{x}^{2}$，
代入数据解得：v_x=3.0m/s，
由于v_D′＞v_x，因此小物块Q被解除锁定后，小物块P的速度不为零，设其速度大小为v_P，
根据能量守恒有 $\frac{1}{2}m{v}_{D}{′}^{2}=\frac{1}{2}k{x}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{P}}^{2}$，
代入数据解得：v_P=$\sqrt{7}$m/s，
当小物块Q解除锁定后，P、Q以及弹簧组成的系统动量守恒，当两者速度相等时，弹簧的压缩量最大．
根据动量守恒定律有：mv_P=（m+2m）v，
弹簧的最大弹性势能${E}_{p}=\frac{1}{2}m{v}_{D}{′}^{2}-\frac{1}{2}（m+2m）{v}^{2}$，
代入数据解得E_p=1.37J．
答：（1）①小物块P通过B位置时的速度v_B的大小为4m/s；
②小物块P从M点运动到轨道最高位置D的过程中损失的总机械能为0.50J；
（2）在弹簧被压缩的过程中，弹簧的最大弹性势能为1.37J．

点评 本题考查了动量守恒定律、能量守恒定律、机械能守恒、动能定理、牛顿第二定律的综合运用，综合性较强，对学生的能力要求较高，关键合理地选择研究的过程，选择合适的规律进行求解．