Question

（2010?南京模拟）如图所示，两足够长平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为L=1m，导轨平面与水平面夹角α=30°，导轨电阻不计．磁感应强度为B=1.0T的匀强磁场垂直导轨平面斜向下，金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m=0.01kg、电阻不计．定值电阻R₁=30Ω，电阻箱电阻调到R₂=120Ω，电容C=0.01F，取重力加速度g=10m/s²．现将金属棒由静止释放．
（1）在开关接到1的情况下，求金属棒下滑的最大速度．
（2）在开关接到1的情况下，当R₂调至30Ω后且金属棒稳定下滑时，R₂消耗的功率为多少？
（3）在开关接到2的情况下，求经过时间t=2.0s时金属棒的速度．

Answer 1

分析：金属棒切割磁感线，产生电动势，从而形成电流，导致金属棒中有安培力出现，最终导致金属棒处于最大速度．由力的平衡条件可求出安培力，从而能算出棒的最大速度．
当金属棒处于稳定速度时，棒的切割相当电源，算出电源的电动势，从而可求出R₂消耗的功率．
当接到2时，相当于电源给电容器充电，出现电流，从而列出安培力表达式，利用牛顿第二定律写出方程，最终得到棒做匀变速运动．因此由加速度可求出2S时的速度．

解答：解：（1）当金属棒匀速下滑时速度最大，设最大速度v_m，此时棒处于平衡状态，
故有mgsinα=F_安，而F_安=BIL，I=

BLvm

R总

，其中R_总=150Ω
由上各式得：mgsinα=

B2L2

R总

vm
解得最大速度v_m=

mgR总

B2L2

sinα=7.5m/s
（2）当R₂调整后，棒稳定下滑的速度，由前面可知：v=

mgsinα

B2L2

(R1+R2)=3m/s
故R₂消耗的功率P₂=I²R，其中I=

BL

R1+R2

v=0.05A
    得P₂=0.075W．
（3）对任意时刻，由牛顿第二定律  mgsinα-BLi=ma
i=

△q

△t

     △q=C△u△u=BL△v   a=

△v

△t

得a=

mgsinα

B2L2C+m

，上式表明棒下滑过程中，加速度保持不变，棒匀加速直线运动，
代入数据可得：a=2.5m/s² ，
故v=at=5m/s

点评：金属棒下滑切割磁感线相当于电源，求出电源的电动势，接下来等效成闭合电路的题目去解．