Question

6．如图所示，M、N间存在一可调电压，调节范围为0～U．初速度为零的电子从M处经电场加速后，从N板小孔 O垂直进入右侧的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．荧光板CD与竖直放置的N板夹角为θ=60°，孔O到N板的下端C的距离为h．当M、N之间电压取U时，粒子刚好垂直打在CD板上并发出荧光．已知电子的电量大小为e，质量为m，不计重力和电子之间的作用力．求：
（1）当电压为U时，电子到达小孔O的速度v大小；
（2）磁感应强度B的大小；
（3）CD板上能发光区域的长度s．

Answer 1

分析 （1）电子在电场中加速，由动能定理可以求出速度．
（2）电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出磁感应强度．
（3）当粒子的运动的轨迹恰好与CD板相切时，这是粒子能达到的最下边的边缘，在由几何关系可以求得被粒子打中的区域的长度．

解答 解：（1）当初速度为零的电子从M处经电场加速后速度为v，
根据动能定理得：$eU=\frac{1}{2}m{v^2}$…①
解得：$v=\sqrt{\frac{2eU}{m}}$…②；
（2）当粒子垂直打在板上时，由几何知识，圆周运动的圆心为C，半径：R=h…③，
洛伦兹力充当向心力：$Bev=m\frac{v^2}{R}$…④，
联立②③④得到：B=$\frac{\sqrt{2emU}}{eh}$…⑤；
（3）当粒子在磁场中做圆周运动，轨迹刚好与CD相切时，电荷在CD板上的撞击点最靠近C端，设半径为r，切点到C距离为d，
由几何知识得：$sin{60°}=\frac{r}{h-r}$…⑥
解得：$r=（2\sqrt{3}-3）h$，$d=\frac{r}{{tan{{60}°}}}$=$（2-\sqrt{3}）h$…⑦
CD上能发光区域的长度：s=h-d…⑧，
解得：s=$（\sqrt{3}-1）h$；
答：（1）当电压为U时，电子到达小孔O的速度v大小为$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$；
（2）磁感应强度B的大小为$\frac{\sqrt{2emU}}{eh}$；
（3）CD板上能发光区域的长度s为（$\sqrt{3}$-1）h．

点评 本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动，要掌握住半径公式、周期公式，画出粒子的运动轨迹后，几何关系就比较明显了．