Question

如图所示，在水平地面上，一条圆弧轨道与大小不同的两个圆环轨道连接在一起，小环半径为r，大环半径是小环半径的2倍．轨道内侧表面光滑．质量为m的小球从A点处以某一初速度沿圆弧轨道向上滚动，到达最大高度后返回，在小环（底部稍错开一些）内侧运动一周后，再进人大环内侧轨道，刚好能通过大环的最高点．不计空气阻力，重力加速度为g，求：
（1）小球沿圆弧轨道向上滚动的过程中距地面的最大高度；
（2）小球通过小环的最高点时对小环的压力大小．

Answer 1

分析：（1）小球刚好能通过大环的最高点，是一个临界情况，即轨道此时对小球的弹力为0，重力提供向心力．在运动的过程中只有重力做功，机械能守恒．根据机械能守恒求出小球向上运动过程中距离地面的最大高度．
（2）根据机械能守恒求出在小环最高点的速度，小球受重力和轨道弹力的合力提供向心力，求出弹力，再根据牛顿第三定律求出小球对小环的压力．

解答：解：（1）设小球恰好通过大环最高点的速度为v，由牛顿第二定律得：
mg=m

v2

2r

  ①
设小球沿圆弧轨道向上滚动的过程中距地面的最大高度为h，小球运动过程中机械能守恒，则有：
mgh=4mgr+

1

2

mv2  ②
由①②解得：h=5r
（2）设小球在小环最高点的速度为v₁，由机械能守恒定律得：
mgh=2mgr+

1

2

mv12③
根据牛顿第二定律得：
F+mg=m

v12

r

④
由③④解得：
F=5mg
由牛顿第三定律知球对小环压力大小为F′=5mg．
答：（1）小球沿圆弧轨道向上滚动的过程中距地面的最大高度为5r；
（2）小球通过小环的最高点时对小环的压力大小为5mg．

点评：解决本题的关键熟练运用机械能守恒定律，以及知道在圆周运动的最高点和最低点，沿半径方向的合力提供向心力．