Question

20．如图，纸面内直线MN左侧边长为L的正方形区域OACD中．有方向平行于AC的匀强电场．O处的粒子源沿垂直于AC方向发射速度为v₀的正电粒子，粒子质量为m、电荷量为q．粒子恰好从AC的中点P经过．不计粒子重力．   
（1）求匀强电场的场强E；
（2）若MN右侧全部空间有垂直纸面向外的匀强磁场，使粒子再次进入电场，求磁感应强度应满足的条件：
（3）若MN右侧的磁场仅限于左边界与MN重合的矩形区域内．求粒子从离开P点到再次垂直进入电场经历的最长时间．

Answer 1

分析 （1）粒子在偏转电场中仅受竖直向下的电场力，做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零匀加速直线运动，可以解出电场强度；
（2）解出粒子离开电场时的速度方向即粒子进入磁场的速度方向，做出运动轨迹图，解出粒子进入磁场和离开磁场两位置间的距离；根据洛伦兹力提供向心力得出磁感应强度与半径的关系即可求出磁感应强度．
（3）根据题目的要求做出粒子从de边射出的临界条件的轨迹，结合牛顿第二定律，即可求解．

解答 解：（1）粒子在偏转电场中仅受竖直向下的电场力，做类平抛运动，
水平方向做匀速直线运动：L=v₀t
竖直方向做初速度为零匀加速直线运动：$\frac{L}{2}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
qE=ma
整理得：$E=\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$
（2）设粒子经过P时的速度的大小是v，方向与AC的夹角是θ，则：
${v}^{2}={v}_{0}^{2}+（at）^{2}$
sinθ=$\frac{{v}_{0}}{v}$
解得：$v=\sqrt{2}{v}_{0}$，θ=45°
根据左手定则可知，粒子将从PC中间某处再次进入电场，磁感应强度最小时对应的位置是C，运动的轨迹的示意图如图．由几何关系知，粒子在磁场中运动的半径：

$\sqrt{2}r=\frac{1}{2}L$
根据牛顿第二定律：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
整理得：$B=\frac{4m{v}_{0}}{qL}$
所以磁感应强度满足的条件是：$B≥\frac{4m{v}_{0}}{qL}$
（3）要使粒子最终垂直于AC进入电场，则粒子离开P点后，先做一段直线运动后再进入磁场，且磁场的位置越靠下，粒子通过的轨迹的弧长越大，运动的时间越长，最长时间对应从C点进入，运动的轨迹如图，磁场的边界如图中的红色线框．由几何关系知：
$\sqrt{2}R+R=\frac{1}{2}L$
粒子从P到C通过的路程为：$S=R+\frac{3}{4}πR$
时间：t=$\frac{S}{v}$
整理得：$t′=\frac{（4+3π）（2-\sqrt{2}）L}{16{v}_{0}}$
答：（1）匀强电场的场强是$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$；
（2）若MN右侧全部空间有垂直纸面向外的匀强磁场，使粒子再次进入电场，磁感应强度应满足的条件是$B≥\frac{4m{v}_{0}}{qL}$：
（3）若MN右侧的磁场仅限于左边界与MN重合的矩形区域内．粒子从离开P点到再次垂直进入电场经历的最长时间是$\frac{（4+3π）（2-\sqrt{2}）L}{16{v}_{0}}$．

点评 本题主要考查了带电粒子在组合场中运动的问题，要求同学们能正确分析粒子的受力情况，再通过受力情况分析粒子的运动情况，熟练掌握圆周运动及平抛运动的基本公式，难度偏难．