Question

2．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力系数为G，某卫星绕地球做匀速圆周运动，运行的周期为T，求
（1）地球的平均密度．
（2）卫星的运行的轨道半径和线速度大小．

Answer 1

分析 1、不计地球自转，在地球表面上，物体的重力等于地球对物体的万有引力，列式也可求得地球的质量，根据密度定义求解地球的平均密度．
2、由地球的万有引力提供卫星的向心力求解卫星的运行的轨道半径和线速度大小．

解答 解：（1）不计地球自转，在地球表面上，物体的重力等于地球对物体的万有引力，有：
mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
根据密度定义得：
ρ=$\frac{M}{\frac{4{πR}^{3}}{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$，
（2）由地球的万有引力提供卫星的向心力，有：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
解得：r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，
v=$\frac{2πr}{T}$=$\sqrt{\frac{2πg{R}^{2}}{T}}$  
答：（1）地球的平均密度是$\frac{3g}{4πGR}$．
（2）卫星的运行的轨道半径和线速度大小是$\sqrt{\frac{2πg{R}^{2}}{T}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．