Question

如图所示，固定斜面的倾角θ=30°，物体A与斜面之间的动摩擦因数为μ=

3

2

，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C点．用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A和B，滑轮右侧绳子与斜面平行，A的质量为2m，B的质量为m，初始时物体A到C点的距离为L．现给A、B一初速度v₀使A开始沿斜面向下运动，B向上运动，物体A将弹簧压缩到最短后又恰好能弹到C点．已知重力加速度为g，不计空气阻力，整个过程中，轻绳始终处于伸直状态，求此过程中：
（1）物体A向下运动刚到C点时的速度；
（2）弹簧的最大压缩量；
（3）弹簧中的最大弹性势能．

Answer 1

分析：（1）物体A向下运动到C点的过程中，A的重力势能及AB的动能都减小，转化为B的重力势能和摩擦生热，根据能量守恒定律列式求出物体A向下运动刚到C点时的速度；
（2）从物体A接触弹簧到将弹簧压缩到最短后回到C点的过程中，弹簧的弹力和重力做功都为零，根据动能定理求出弹簧的最大压缩量；
（3）弹簧从压缩最短到恰好能弹到C点的过程中，根据能量守恒定律求解弹簧中的最大弹性势能．

解答：解：（1）A和斜面间的滑动摩擦力大小为f=2μmgcosθ，物体A向下运动到C点的过程中，根据功能关系有：
2mgLsinθ+

1

2

?3mv₀²=

1

2

?3mv²+mgL+fL，
代入解得v=

v 2 0 -gL

．
（2）从物体A接触弹簧，将弹簧压缩到最短后又恰回到C点，对系统应用动能定理，
-f?2x=0-

1

2

×3mv²，解得x=

3 v02

4μg

-

L

2

=

v 2 0

2g

-

L

2

．
（3）弹簧从压缩最短到恰好能弹到C点的过程中，对系统根据能量关系有
   E_p+mgx=2mgxsinθ+fx
因为mgx=2mgxsinθ
所以E_p=fx=

3

4

mv₀²-

3

2

μmgL=

3

4

mv₀²-

3

4

mgL．
答：
（1）物体A向下运动刚到C点时的速度为

v 2 0 -gL

；
（2）弹簧的最大压缩量为

v 2 0

2g

-

L

2

；
（3）弹簧中的最大弹性势能为

3

4

mv₀²-

3

4

mgL．

点评：本题关键是搞清能量如何转化的，可以先分清在物体运动的过程中涉及几种形式的能量，分析哪些能量增加，哪些能量减小，再判断能量如何转化．