Question

1．如图所示，间距为L的光滑平行金属导轨水平地放置在竖直方向的磁感应强度为B的匀强磁场中，一端接有阻值为R的电阻，电阻为r、质量为m的导体棒放置在导轨上，在外力F作用下从t=0时刻开始运动，其速度规律为v=v_msinωt，不计导轨电阻，电压表为理想电表，求：
（1）电压表的示数；
（2）从t=0到t=$\frac{π}{ω}$时间内电阻R上产生的热量；
（3）从t=0到t=$\frac{π}{2ω}$时间内外力F所做的功．

Answer 1

分析 （1）根据感应电动势公式E=Bdv求得感应电动势瞬时值表达式，可知棒中产生正弦式电流，根据感应电动势最大值E_m，求出感应电动势的有效值，再由欧姆定律求出电流的有效值，由欧姆定律求出R电压的有效值，即为电压表的示数．
（2）由焦耳定律求电阻R产生的热量．
（3）根据动能定理研究从t=0到t=$\frac{π}{2ω}$时间内外力F所做的功．其中克服安培力做功大小等于电路中产生的热量．

解答 解：（1）从t=0开始运动，棒ab产生的感应电动势为：
e=BLv=BLv_msinωt，是正弦式交变电流
感应电动势最大值为：E_m=BLv_m
其有效值为：E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$E_m
感应电流的有效值：I=$\frac{E}{R+r}$
电压表的示数等于R两端电压的有效值，为 U=IR=$\frac{\sqrt{2}BLR{v}_{m}}{R+r}$
（2）从t=0到t=$\frac{π}{ω}$时间内电阻R产生的热量：Q=I²Rt
解得：Q=$\frac{π{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{2}R}{ω（R+r）^{2}}$；
（3）从t=0到t=$\frac{π}{2ω}$时间内，根据动能定理得：W=$\frac{1}{2}$mv_m²+I²（R+r）t
联立得：外力F所做的功 W=$\frac{1}{2}$mv_m²+$\frac{π{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{2}}{4ω（R+r）}$；
答：
（1）电压表的示数为 $\frac{\sqrt{2}BLR{v}_{m}}{R+r}$．
（2）从t=0到t=$\frac{π}{ω}$时间内电阻R产生的热量为$\frac{π{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{2}R}{ω（R+r）^{2}}$；
（3）从t=0到t=$\frac{π}{2ω}$时间内，外力F所做的功为$\frac{1}{2}$mv_m²+$\frac{π{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{2}}{4ω（R+r）}$．

点评 本题是产生正弦式电流的一种方式，要能够把电磁感应和动能定理结合解决问题．知道正弦交变电流产生热量的求解方式