题目内容
如图所示，斜面倾角为θ，一块质量为m、长为l的匀质板放在很长的斜面上，板的左端有一质量为M的物块，物块上连接一根很长的细绳，细绳跨过位于斜面顶端的光滑定滑轮并与斜面平行，开始时板的右端距离斜面顶端足够远．试求：
（1）若板与斜面间光滑，某人以恒力F竖直向下拉绳，使物块沿板面由静止上滑过程中，板静止不动，求物块与板间动摩擦因数μ0；
（2）在（1）情形下，求物块在板上滑行所经历的时间t0；
（3）若板与物块和斜面间均有摩擦，且M=m，某人以恒定速度v=
，竖直向下拉绳，物块最终不滑离板的右端．试求板与物块间动摩擦因数μ1和板与斜面间动摩擦因数μ2必须满足的关系．
（1）若板与斜面间光滑，某人以恒力F竖直向下拉绳，使物块沿板面由静止上滑过程中，板静止不动，求物块与板间动摩擦因数μ0；
（2）在（1）情形下，求物块在板上滑行所经历的时间t0；
（3）若板与物块和斜面间均有摩擦，且M=m，某人以恒定速度v=
| 2glsinθ |
（1）分别对物块和木板受力分析并建立如图所示的直角坐标系，
对木块M：G1=Mg，则：F1=Mgcosθ，
又：M在Y轴方向受力平衡，
所以F3=F1=Mgcosθ．
又：f=μ0F1=μ0Mgcosθ
对板m：因为静止，所以X、Y方向分别受力平衡：
X轴方向：F5=G2sinθ=mgsinθ；f=μ0Mgcosθ；
所以：mgsinθ=μ0Mgcosθ；
得：μ0=
| m |
| M |
（2）设物块M的加速度为a0，物块Y方向合力为零，所以合力即为X轴上的合力：
X轴方向：F2=G1sinθ=Mgsinθ；f=μ0Mgcosθ；
所以：F合=F-Mgsinθ-μ0Mgcosθ
由牛顿第二定律：F=ma得：
F-Mgsinθ-μ0Mgcosθ=Ma0
即：a0=
| F-Mgsinθ-μ0Mgcosθ |
| M |
又：l=
| 1 |
| 2 |
| t | 20 |
联立解得：t0=
|
（3）设物块在板上滑行的时间为t1，板的加速度为a，
对板有：Y方向合力为零，所以合力即为X方向的合力：
X轴方向：f=μ1Mgcosθ；f1=μ2（M+m）gcosθ；F5=G2sinθ=mgsinθ
所以：F合=μ1Mgcosθ-mgsinθ-μ2（M+m）gcosθ
由牛顿第二定律：F=ma得：
μ1Mgcosθ-mgsinθ-μ2（M+m）gcosθ=ma①
且物块最终不滑离板的右端．说明物块和木板最终要达到相同的速度v：所以有：v=at1②
①②联立解得 t1=
| mv |
| μ1Mgcosθ-mgsinθ-μ2(M+m)gcosθ |
又设物块从板的左端运动到右端的时间为t2，
则：vt2-
| 1 |
| 2 |
t2=
| 2l |
| v |
为使物块最终不滑离板的右端，必须满足 t1≤t2
即
| mv |
| μ1Mgcosθ-mgsinθ-μ2(M+m)gcosθ |
| 2l |
| v |
代入v=
| 2glsinθ |
所以要使物块最终不滑离板的右端，μ1与μ2必须满足μ1-2μ2≥2tanθ
答：
（1）物块与板间动摩擦因数μ0=
| m |
| M |
（2）在（1）情形下，求物块在板上滑行所经历的时间t0=
|
（3）若板与物块和斜面间均有摩擦，且M=m，某人以恒定速度v=
| 2glsinθ |
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