Question

如图AB和CD是两根特制的、完全相同的电阻丝，竖直地固定在地面上，上端用电阻不计的导线相接，两电阻丝间距为L，有一根质量为m、电阻不计的金属棒，跨在AC两点间处于x轴原点，与电阻丝接触良好且无摩擦，空间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，放开金属棒，它将加速下滑．求：
（1）电阻丝的电阻值应跟位移x的平方根成正比，即R=k

x

（k为一常数）试用假设法证明棒开始下落后是做匀加速运动．
（2）在棒做匀加速直线时若L=1m，B=1T，m=

1

5

kg，k=

1

5

Ωm

1

2

．则
①棒下落的加速度a
②棒下落1米位移过程式中电阻上的电功W．

Answer 1

分析：（1）由牛顿第二定律与运动学公式，以及法拉第电磁感应定律来相结合，运用假设法证明可得；
（2）根据上题的证明结论，并结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律与电量的表达式，最后通过能量守恒定律，从而能一一解决问题．

解答：解：（1）棒从静止释放后受重力而加速度下落，速度v增大，棒切割磁感线产生的电动势E=BLv增大，但连入电路中的电阻长度也增大故电路中电阻增大，因而电路中的电流及安培力的变化不便简单判定；
对棒下落中的任一时刻将有：mg-BL

BLv

2R

=ma
  即mg-BL

BL

2k x

=ma
①假设棒ab作匀速直线运动；则棒运动的加速度a=0，即mg=BL

BLv

2k x

，式中B、L、V、m、k均为定值，故位移x必定值；但由于是棒的向下匀速运动将使位移x=vt随时间而变化：故三者矛盾而说明不可能罗匀速直线运动．
②假设棒作加速度增大的加速下落；由前知必有BL

BLv

2k x

减小，故棒的加速度最终将增大为a=g，此时必有BL

BLv

2k x

=0，由于B、L、x均不为0且k为常数，故有当棒的加速度a=g时棒的速度v=0；但由于棒运动中a，v同向，棒的速度将来断增大；二者矛盾而说明棒不可能作加速度增大的加速直线运动．
③假设棒作加速度减小的加速下落：必有BL

BLv

2k x

增大，故棒的加速度最终将减小为a=0时，棒以mg=BL

BLv

2k x

得，v=

2kmg x

(BL)2

而匀速直线运动；但由于棒运动中x将来断增大而使棒速度变化；故二者矛盾而说明棒不可能作加速度减小的加速直线运动．
④由此可见：导体棒必作匀加速直线下落．
（2）①将数据代入mg-BL

BLv

k2 x

=ma得
  a=10-

5v

2 x

…（A）；
再因棒匀加速运动故有v=

2ax

…（B）
将（B）式代入（A）有a=10-

5 2ax

2 x

=10-

5 2a

2

，
解之得棒的加速度为a=1.855m/s²；
②棒下落中电路中电阻相应增大，因而其消耗的电能应当从能量的转化与守恒定律得出：
 

1

2

mv2=mgx-E_R
又 v²=2ax
则得E_R=mx（g-a）
故此过程中电阻上的电功为E_R=1×1×（10-1.855）=8.145J
答：（1）证明略．
（2）a、棒下落的加速度a是1.855m/s²；
b、棒下落1米位移过程式中电阻上的电功W是8.145J．

点评：本题考查了牛顿第二定律、法拉第电磁感应定律、运动学公式、欧姆定律、能量守恒定律等规律，属于力电综合题．