Question

如图所示，质量为m的物体，放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑．保持斜面倾角为30°，对物体施加一水平向右的恒力F，使物体沿斜面匀速向上滑行（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）．增大斜面倾角，当倾角超过某一临界角θ₀ 时，则不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，已知重力加速度为g，试求：
（1）物体与斜面间的动摩擦因数μ；
（2）水平恒力F的大小；
（3）这一临界角θ₀的大小．

Answer 1

分析：（1）物体匀速上滑和匀速下滑时受力都平衡，按重力、弹力和摩擦力顺序进行受力分析，根据匀速下滑的情形，运用平衡条件列方程，并结合摩擦力公式求解动摩擦因素μ．
（2）物体沿斜面匀速上升，根据平衡条件列方程，可求得推力F的大小．
（3）根据推力的表达式，结合数学知识，即可求解临界角大小．

解答：解：（1）物体匀速上滑时受力如左图所示，匀速下滑时受力如右图所示．
物体匀速下滑时，根据平衡条件得：
  mgsin30°=F₁                      
  F_N=mgcos30°                       
又 F₁=μF_N                        
μ=tan30°=

3

3

；       
（3）物体沿斜面匀速上升，根据平衡条件得：
沿斜面方向：Fcosα=mgsinα+F₂                    
 垂直于斜面方向：F_N1=mg cos α+Fsin α                 
又 F₂=μF_N1               
联立得：F=

mgsinα+μmgcosα

cosα-μsinα

=

mgsin30°+μmgcos30°

cos30°-μsin30°

=

3

mg；
（3）由上式，当cosα-μsinα=0，即cotα=μ  时，F→∞，
即“不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行”
此时，α=60⁰
答：（1）物体与斜面间的动摩擦因素μ为

3

3

；
（2）水平恒力F的大小

3

mg．
（3）这一临界角θ₀的大小60°．

点评：本题是简单的力平衡问题，关键是分析物体的受力情况，作出受力的示意图，要培养良好的作图习惯，注意用数学知识来确定极值问题．